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प्रश्न
1.5 μC और 2.5 μC आवेश वाले दो सूक्ष्म गोले 30 cm दूर स्थित हैं।
- दोनों आवेशों को मिलाने वाली रेखा के मध्य बिन्दु पर, और
- मध्य बिन्दु से होकर जाने वाली रेखा के अभिलम्ब तल में मध्य बिन्दु से 10 cm दूर स्थित किसी बिन्दु पर विभव और विद्युत-क्षेत्र ज्ञात कीजिए।
उत्तर
(a) मध्य बिन्दु की प्रत्येक आवेश से दूरी
rA = rB = 0.15 m
मध्य बिन्दु पर विभव
V = `"V"_"A" + "V"_"B" = 9 xx 10^9 ["q"_"A"/"r"_"A" + "q"_"B"/"r"_"B"]`
`= 9 xx 10^9 [(1.5 xx 10^-6)/0.15 + (2.5 xx 10^-6)/0.15]`
= 2.4 × 105 V
माना qA व qB के कारण विद्युत क्षेत्र EA तथा EB है तब EA > EB
∴ मध्य बिन्दु पर विद्युत क्षेत्र
E = `"E"_"B" - "E"_"A" = 9 xx 10^9 xx "q"_"B"/"r"_"B"^2 - 9 xx 10^9 xx "q"_"A"/"r"_"A"^2`
`= 9 xx 10^9 [(2.5 xx 10^-6)/(0.15 xx 0.15) - (1.5 xx 10^-6)/(0.15 xx 0.15)]`
⇒ E = 4.0 × 105 Vm-1 बड़े छोटे आवेश की दिशा में
(b)
माना हमें बिन्दु P पर विद्युत विभव तथा विद्युत क्षेत्र ज्ञात करना है।
तब AP2 = BP2 = 152 + 102
= 325 = 25 × 13
⇒ AP = BP = `5sqrt13` cm
= 18 cm = 0.18 m
∴ बिन्दु P पर विभव
V = `"V"_"A" + "V"_"B" = 9 xx 10^9[(2.5 xx 10^-6)/0.18 + (1.5 xx 10^-6)/0.18]`
= 2 × 105 V
बिन्दु P पर qA के कारण विद्युत क्षेत्र
`"E"_"A" = 9 xx 10^9 xx (1.5 xx 10^-6)/((0.18)^2)`
= 4.17 × 105 N/C AP दिशा में
qB के कारण बिन्दु P पर विद्युत क्षेत्र
`"E"_"B" = 9 xx 10^9 xx (2.5 xx 10^-6)/((0.18)^2)`
= 6.94 × 105 N/C BP दिशा में
माना ∠APO = ∠BPO = a
तब `tan alpha = "AO"/"OP" = 15/10 = 1.5`
∴ `alpha = tan^-1 (1.5) = 56.3^circ`
∴ EA तथा EB के बीच का कोण `theta = 2alpha = 112.6^circ`
∴ बिन्दु P पर परिणामी विद्युत क्षेत्र E = `sqrt(["E"_"A"^2 + "E"_"B"^2 + 2"E"_"A""E"_"B" cos theta])`
`= 10^5 sqrt([(4.17)^2 + (6.94)^2 + 2 xx 4.17 xx 6.94 xx (- 0.38)])`
E = 6.6 × 105 Vm-1
माना परिणामी क्षेत्र BP दिशा से (EB की दिशा से) β कोण बनाता है, तब
`tan beta = ("E"_"A" sin theta)/("E"_"B" + "E"_"A" cos theta) ...[(sin theta = sin 112.6^circ = 0.92),(cos theta = cos 112.6^circ = - 0.38)]`
`= (4.17 xx 0.92)/(6.94 + 4.17 xx (- 0.38))` = 0.715
`=> beta = tan^-1 (0.715) = 35.6^circ`
∴ परिणामी क्षेत्र द्वारा BA दिशा से बनाया गया कोण
`phi = angle"ABP" + beta = 90^circ - alpha + 35.6^circ`
`= 90^circ - 56.3^circ + 35.6^circ = 69.3^circ`
अतः परिणामी क्षेत्र 6.6 × 105 Vm-1 है जो BA 69° का कोण बनाता है।
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