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प्रश्न
बिंदु (−1, −5, –10) से रेखा `vec"r" = 2hat"i" - hat"j" + 2hat"k" + λ (3hat"i" + 4hat"j" + 2hat"k")` और समतल `vec"r". (hat"i" - hat"j" + hat"k") = 5` के प्रतिच्छेदन बिंदु के मध्य की दूरी ज्ञात कीजिए।
उत्तर
यहाँ रेखा
`vec"r" = 2hat"i" - hat"j" + 2hat"k" + λ (3hat"i" + 4hat"j" + 2hat"k")` .....(i)
और समतल `vec"r". (hat"i" - hat"j" + hat"k") = 5` ......(ii)
से मिलती है।
`vec"r"` का मान समीकरण (i) से लेकर (ii) में रखने पर,
`[2hat"i" - hat"j" + 2hat"k" + λ(3hat"i" + 4hat"j" + 2hat"k")]. (hat"i" - hat"j" + hat"k") = 5`
या `(2hat"i" - hat"j" + 2hat"k"). (hat"i" - hat"j" + hat"k") + λ(3hat"i" + 4hat"j" + 2hat"k"). (hat"i" - hat"j" + hat"k") = 5`
या (2 + 1 + 2) +λ(3 − 4 + 2) = 5
या 5 + λ(1) = 5
⇒ λ = 0
λ का मान समीकरण (i) में रखने से, सरल रेखा और समतल का प्रतिच्छेदन बिंदु = `(2hat"i" - hat"j" + 2hat"k")`
दिया गया बिंदु = `-hat"i" - 5hat"j" - 10hat"k"`
इन बिंदुओं की मध्य दूरी
= `sqrt([2 - (-1)^2] + (-1 + 5)^2 + [2 - (-10)^2])`
= `sqrt(3^2 + 4^2 + 12^2)`
= `sqrt(9 + 16 + 144)`
= 13
