Question

दो गेंद एक ही क्षण अपने-अपने क्रमशः आरंभिक वेगों u₁ तथा u₂ से ऊपर की ओर ऊर्ध्वाधर दिशा में फेंकी जाती हैं। सिद्ध कीजिए कि इनके द्वारा तय की गई ऊँचाइयाँ `"u"_1^2 : "u"_2^2` में अनुपात में होंगी। (यह मानिए कि उपरिमुखी त्वरण -g तथा अधोमुखी त्वरण +g हैं)।

Answer 1

दिया हुआ है : प्रारंभिक वेग = u₁ और u₂

ऊपर की ओर त्वरण = −g

नीचे की ओर त्वरण = +g

सिद्ध करना है: उनके द्वारा पहुंची हुई ऊंचाई का अनुपात = `"u"_1^2 : "u"_2^2`

चरण 1 - सूत्र v² = u² − 2gh का प्रयोग करने पर, 

पहले पत्थर के लिए,माना इसके द्वारा प्राप्त ऊंचाई h₁ है।

गति के तृतीय समीकरण v² = u² − 2gh से ऊपर की ओर गति के लिए,

यहां, हमने नकारात्मक संकेत का उपयोग किया है, क्योंकि ऊपर की ओर त्वरण −g दिया गया है, 

उच्चतम बिंदु पर वेग शून्य हो जाता है अर्थात, v = 0

`​0 = "u"_1^2−2"gh"_1`

`2"gh"_1="u"_1^2`

`"h"_1="u"_1^2/(2"g")`​

चरण 2 - सूत्र v² = u² − 2gh का प्रयोग करने पर,

उसी प्रकार,  दूसरे पत्थर के लिए, माना इसके द्वारा प्राप्त ऊंचाई = h₂ है।

गति के  तृतीय समीकरण v² = u²−2gh से,

उच्चतम बिंदु पर वेग शून्य हो जाता है अर्थात, v = 0

`​0="u"_2^2−2"gh"_2`

`2"gh"_2="u"_2^2`

`"h"_2=u_2^2/(2"g")`​

चरण 3 : दोनों पत्थरों द्वारा पहुंची हुई ऊंचाइयों का अनुपात

`"​h"_1:"h"_2 = "u"_1^2/(2"g") : "u"_2^2/(2"g")`

`"h"_1:"h"_2="u"_1^2:"u"_2^2`​