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प्रश्न
एक चतुर्भुज ABCD की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को, एक ही क्रम में, मिलाने पर प्राप्त आकृति केवल एक वर्ग है, यदि ______।
विकल्प
ABCD एक समचतुर्भुज है
ABCD के विकर्ण बराबर हैं
ABCD के विकर्ण बराबर हैं और परस्पर लंब हैं
ABCD के विकर्ण परस्पर लंब हैं
उत्तर
एक चतुर्भुज ABCD की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को, एक ही क्रम में, मिलाने पर प्राप्त आकृति केवल एक वर्ग है, यदि ABCD के विकर्ण बराबर हैं और परस्पर लंब हैं।
स्पष्टीकरण -
दिया गया है, ABCD एक चतुर्भुज है और P, Q, R और S क्रमश : भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं।
फिर, PQRS एक वर्ग है।
∴ PQ = QR = RS = PS ...(i)
और PR = SQ
लेकिन PR = BC और SQ = AB
∴ AB = BC
इस प्रकार, चतुर्भुज ABCD की सभी भुजाएँ बराबर हैं।
अतः, चतुर्भुज ABCD या तो एक वर्ग या एक समचतुर्भुज है।
अब, ∆ADB में, मध्य-बिंदु प्रमेय का प्रयोग करें।
SP || DB
और SP = `1/2` DB ...(ii)
इसी प्रकार △ABC में ...(मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा)
PQ || AC और PQ = `1/2` AC ...(iii)
समीकरण (i) से,
PS = PQ
⇒ `1/2` DB = `1/2` AC ...[समीकरण (ii) और (iii) से]
⇒ DB = AC
इस प्रकार, ABCD के विकर्ण बराबर हैं और इसलिए चतुर्भुज ABCD एक वर्ग है न कि समचतुर्भुज। इसलिए, चतुर्भुज के विकर्ण भी लंबवत होते हैं।
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