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प्रश्न
एक खेल में किसी व्यक्ति को एक न्याय्य पाँसे को उछालने के बाद छः प्रकट होने पर एक रुपया मिलता है और अन्य कोई संख्या प्रकट होने पर वह एक रुपया हार जाता है। एक व्यक्ति यह निर्णय लेता है, कि वह पाँसे को तीन बार फेंकेगा लेकिन जब भी छः प्राप्त होगा वह खेलना छोड़ देगा। उसके द्वारा जीती/हारी गई राशि की प्रत्याशा ज्ञात कीजिए।
उत्तर
एक पाँसे को उछालने पर 6 आने की प्रायिकता (p) = `1/6`
और 6 न आने की प्रायिकता (q) = `1 - 1/6 = 5/6`
यदि पहली उछाल में 6 आने की प्रायिकता = `1/6`
यदि पहली उछाल में 6 न आए, परंतु दूसरी उछाल में 6 आए, तो प्रायिकता = `5/6 xx 1/6 = 5/36`
पहली दोनों उछालो में 6 न आए, परंतु तीसरी उछाल में 6 आए, तो प्रायिकता = `5/6 xx 5/6 xx 1/6 = 25/216`
पहली बार में 6 आने पर उसे 1 रुपया मिलता है।
दूसरी बार में 6 आने पर −1 + 1 = 0 रुपया मिलता है।
तीसरी बार में 6 आने पर −1 − 1 + 1 = −1 रुपया मिलता है अर्थात 1 रुपया की हानि होती है।
∴ प्रायिकता बंटन इस प्रकार है-
| X | 1 | 0 | −1 |
| P(X) | `1/6` | `5/36` | `25/216` |
प्रत्याशा
= `1 xx 1/6 + 0 xx 5/36 + (-1) xx 25/216`
= `1/6 - 25/216`
= `(36 - 25)/216`
= `11/216`
∴ उसके द्वारा जीती गई राशी की प्रत्याशा = `11/216`
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संबंधित प्रश्न
बताइए कि निम्नलिखित प्रायिकता बंटनों में कौन-से एक यादृच्छिक चर के लिए संभव नहीं है। अपना उत्तर कारण सहित लिखिए।
| X | 0 | 1 | 2 |
| P(X) | 0.4 | 0.4 | 0.2 |
बताइए कि निम्नलिखित प्रायिकता बंटनों में कौन-से एक यादृच्छिक चर के लिए संभव नहीं है। अपना उत्तर कारण सहित लिखिए।
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| P(X) | 0.1 | 0.5 | 0.2 | −0.1 | 0.3 |
बताइए कि निम्नलिखित प्रायिकता बंटनों में कौन-से एक यादृच्छिक चर के लिए संभव नहीं है। अपना उत्तर कारण सहित लिखिए।
| Y | −1 | 0 | 1 |
| P(Y) | 0.6 | 0.1 | 0.2 |
बताइए कि निम्नलिखित प्रायिकता बंटनों में कौन-से एक यादृच्छिक चर के लिए संभव नहीं है। अपना उत्तर कारण सहित लिखिए।
| Z | 3 | 2 | 1 | 0 | −1 |
| P(Z) | 0.3 | 0.2 | 0.4 | 0.1 | 0.05 |
मान लीजिए X चितों की संख्या और पटों की संख्या में अंतर को व्यक्त करता है, जब एक सिक्के को 6 बार उछाला जाता है। X के संभावित मूल्य क्या हैं?
निम्नलिखित के प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए:
एक सिक्के की दो उछालों में चितों की संख्या का
निम्नलिखित के प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए:
तीन सिक्कों को एक साथ एक बार उछालने पर पटों की संख्या का
निम्नलिखित के प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए:
एक सिक्के की चार उछालों में चितों की संख्या का
एक पाँसा दो बार उछालने पर सफलता की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए जहाँ
- ‘4 से बड़ी संख्या’ को एक सफलता माना गया है।
- ‘पाँसे पर संख्या 6 प्रकट होना’ को एक सफलता माना गया है।
30 बल्बों के एक ढेर से, जिसमें 6 बल्ब खराब हैं, 4 बल्बों का एक नमूना (प्रतिदर्श) यादृच्छया बिना प्रतिस्थापन के निकाला जाता है। खराब बल्बों की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।
एक सिक्का समसर्वय संतुलित नहीं है जिसमें चित प्रकट होने की संभावना पट प्रकट होने की सम्भावना की तीन गुनी है। यदि सिक्का दो बार उछाला जाता है तो पटों की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।
एक यादृच्छिक चर X का प्रायिकता बंटन नीचे दिया गया है।
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| P(X) | 0 | k | 2k | 2k | 3k | k2 | 2k2 | 7k2 + k |
ज्ञात कीजिए
- k
- P(X < 3)
- P(X > 6)
- P(0 < X < 3)
एक यादृच्छिक चर X का प्रायिकता फलन P(X) निम्न प्रकार से है, जहाँ k कोई संख्या है।
`P("X") {("k", "यदि X" = 0),(2"k", "यदि X" = 1),(3"k", "यदि X" = 2),(0, "अन्यथा"):}`
- k का मान ज्ञात कीजिए।
- P(X < 2), (X ≤ 2), P(X ≥ 2) ज्ञात कीजिए।
दो पाँसों को युग्मत् उछाला गया। यदि X, छक्कों की संख्या को व्यक्त करता है, तो X की प्रत्याशा ज्ञात कीजिए।
