Question

जर D(-7, 6), E(8, 5) आणि F(2, -2) हे त्रिकोणाच्या बाजूंचे मध्यबिंदू असतील, तर त्या त्रिकोणाच्या मध्यगा संपातबिंदूचे निर्देशक काढा.

Answer 1

समजा, A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) आणि C(x₃, y₃) हे त्रिकोणाचे शिरोबिंदू आहेत. 

बिंदू D(-7, 6), E(8, 5) व F(2, -2) हे अनुक्रमे बाजू BC, AC व AB चे मध्यबिंदू आहेत.

समजा, G हा ΔABC चा मध्यगासंपातबिंदू आहे.

D हा रेख BC चा मध्यबिंदू आहे.

मध्यबिंदूच्या सूत्रानुसार,

D चे निर्देशक = `((x_2 + x_3)/2, (y_2 + y_3)/2)`

∴ (-7, 6) = `((x_2 + x_3)/2, (y_2 + y_3)/2)`

∴ `(x_2 + x_3)/2 = -7` आणि `(y_2 + y_3)/2 = 6`

∴ x₂ + x₃ = -14 ....(i) आणि

y₂ + y₃ = 12 ..…(ii)

E हा रेख AC चा मध्यबिंदू आहे.

मध्यबिंदूच्या सूत्रानुसार,

E चे निर्देशक = `((x_1 + x_3)/2, (y_1 + y_3)/2)`

∴ (8, 5) = `((x_1 + x_3)/2, (y_1 + y_3)/2)`

∴ `(x_1 + x_3)/2 = 8` आणि `(y_1 + y_3)/2 = 5`

∴ x₁ + x₃ = 16 ..…(iii) आणि

y₁ + y₃ = 10 …(iv)

F हा रेख AB चा मध्यबिंदू आहे.

मध्यबिंदूच्या सूत्रानुसार,

F चे निर्देशक = `((x_1 + x_2)/2, (y_1 + y_2)/2)`

∴ (2, -2) = `((x_1 + x_2)/2, (y_1 + y_2)/2)`

∴ `(x_1 + x_2)/2 = 2` आणि `(y_1 + y_2)/2` = -2

∴ x₁ + x₂ = 4 …(v) आणि 

y₁ + y₂ = - 4 …(vi)

(i), (iii) आणि (v) यांची बेरीज करून,

x₂ + x₃ + x₁ + x₃ + x₁ + x₂ = -14 + 16 + 4 

∴ 2x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 6

∴ x₁ + x₂ + x₃ = 3 …(vii)

(ii), (iv) आणि (vi) यांची बेरीज करून,

y₂ + y₃ + y₁ + y₃ + y₁ + y₂ = 12 + 10 - 4 

∴ 2y₁ + 2y₂ + 2y₃ = 18 

∴ y₁ + y₂ + y₃ = 9 ..…(viii)

G हा ΔABC चा मध्यगासंपातबिंदू आहे.

मध्यगासंपातबिंदूच्या सूत्रानुसार,

G चे निर्देशक = `((x_1 + x_2 + x_3)/3, (y_1 + y_2 + y_3)/3)`

= `(3/3, 9/3)` ....…[(vii) आणि (viii) वरून]

= (1, 3)

∴ त्रिकोणाच्या मध्यगासंपातबिंदूचे निर्देशक (1, 3) आहेत.