Question

रेखाओं `(x + 1)/7 = (y + 1)/-6 = (z + 1)/1` और `(x- 3)/1 = (y - 5)/-2 = (z - 7)/1` के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।

Answer 1

दी गई समीकरणों की तुलना

`(x - x_1)/a_1 = (y - y_1)/b_1 = (z - z_1)/c_1` और `(x - x_2)/a_2 = (y - y_2)/b_2 = (z - z_2)/c_2` से करने पर, 

x₁ = −1, y₁ = −1, z = −1; x₂ = 3, y₂ = 5, z₂ = 7;

a₁ = 7, b₁ = −6, c₁ = 1 तथा a₂ = 1, b₂ = 2, c₂ = 1

अतः D = `(a_1b_2 - a_2b_1)^2 + (b_1c_2 - b_2c_1)^2 + (c_1a_2 - c_2a_1)^2`

= `(-14 + 6)^2 + (-6 + 2)^2 + (1 - 7)^2`

= 64 + 16 + 36

= 116

∴ न्यूनतम दूरी = `1/sqrtD |(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 -z_1), (a_1, b_1, c_1), (a_2, b_2,c_2)|`

= `1/sqrt116 |(3 + 1, 5 + 1, 7 + 1), (7, -6, 1), (1, -2, 1)|`

= `1/(4sqrt29) |(4, 6, 8), (7, -6, 1), (1, -2, 1)|`

= `1/(4sqrt29) [4 (-6 + 2) -6(7 - 1) + 8(-14 + 6)]`

= `1/(4sqrt29) [-16 - 36 -64]`

= `-1/(2sqrt29). 116`

= `(4 xx 29)/(2sqrt29)`         ...(ऋण चिन्ह छोड़ने पर)

= `2sqrt29` इकाई