Question

ΔABC में, रेख AD ⊥ भुजा BC, रेख BE ⊥ भुजा AC, रेख CF ⊥ भुजा AB। बिंदु ‘O’ लंबपाद हो तो सिद्ध कीजिए कि, बिंदु ‘O’ ΔDEF का अंतःकेंद्र है। 

Answer 1

रेख EF, रेख DF और रेख DE खींचो |

रेख AD ⊥ भुजा BC,

रेख BE ⊥ भुजा AC,

रेख CF ⊥ भुजा AB  ...................(दत्त) ..........(1)

∴ ∠BFC = ∠BEC = 90° ............[(1) से]

रेखा BC पर स्थित दो भिन्न बिंदु B और C उसी रेखा के एक ही ओर स्थित दो भिन्न बिंदु F और E पर सर्वांगसम कोण बनाता है |

∴ बिंदु B, F, E और C एक ही वृत्त पर हैं |

∴ ∠FEB ≅ ∠FCB ............(एक ही वृत्तचाप के अंतर्लिखित कोण)

∠OEC = ∠ODC = 90° ............[(1) से] ..........(2)

∴ ∠OEC + ∠ODC = 90° + 90° = 180° 

∴ `square`OEDC चक्रीय चतुर्भुज है | ........(चक्रीय चतुर्भुज के प्रमेय का विलोम)

∴ ∠OED ≅ ∠OCD ................(एक ही वृत्त चाप के अंतर्लिखित कोण)

∴ ∠OED ≅ ∠FCB ..............(F-O-C, B-D-C) .............(3)

∴ ∠FEB ≅ ∠OED ...............[(2) और (3) से]

∴ ∠FEO ≅ ∠OED .........(B-O-E)

∴ रेख EO, ∠FED को समद्विभाजित करती है |

इसी प्रकार, हम सिद्ध कर सकते है कि, रेख DO ∠FDE को समद्विभाजित करती है तथा रेख FO, ∠EFD को समद्विभाजित करती है |

∴ बिंदु O ΔDEF के कोणों के समद्‌विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु है |

∴ बिंदु 'O' ΔDEF का अंतः केंद्र है |

उपरोक्त प्रश्न को समझने के लिए संकेत : 

बिंदु F, E, C और B एक ही वृत्त पर हैं | यह सिद्ध करने पर, हमें प्राप्त होता है कि, 

∠1 = ∠3 ..........(एक ही वृत्त चाप के अंतर्लिखित कोण)

तो, `square`OECD चक्रीय चतुर्भुज हैं यह सिद्ध करने पर,

हमें प्राप्त होता है कि, ∠2 = ∠3 ..................(एक ही वृत्त चाप के अंतर्लिखित कोण)

∴ ∠1 = ∠2

∴ रेख OE, ∠FED को समद्विभाजित करती है |

इसी प्रकार, हम सिद्ध कर सकते है कि, रेख DO, ∠FDE को समद्विभाजित करती है |

तथा रेख FO, ∠EFD को समद्विभाजित करती है |

∴ बिंदु O, अंतः केंद्र है |