Question

बहुत समय पहले, प्राचीन काल में, एक किसान ने एक राजा की पुत्री की जान बचाई। राजा ने किसान को उसकी इच्छानुसार पुरस्कार देने का निर्णय किया। वह किसान, जो शतरंज का एक चैंपियन था, ने एक असामान्य प्रार्थना की जो इस प्रकार है -

“मैं चाहता हूँ कि आप 1 रुपया मेरे शतरंज के बोर्ड के पहले वर्ग पर रखें, 2 रुपए दूसरे वर्ग पर, 4 रुपए तीसरे वर्ग पर, 8 रुपए चौथे वर्ग पर, और इसी प्रकार आगे रखते जाएँ, जब तक कि सभी 64 वर्गों पर रुपए न रख दिए जाएँ। प्रत्येक वर्ग में उस वर्ग से पहले वर्ग में रखे रुपयों के दुगुने रुपए रखे होने चाहिए।'' राजा ने सोचा कि यह राशि बहुत कम है। इसलिए उसने किसान से कोई अच्छा पुरस्कार माँगने के लिए कहा। परंतु किसान उससे सहमत नहीं हुआ।

क्या आप सोचते हैं कि किसान का चुनाव बुद्धिमतापूर्ण था?

(संकेत- निम्न सारणी आपको यह जानने में सहायता कर सकती है कि कौन सा वर्ग प्रथम होगा 'जिस पर राजा न्यूनतम 10 लाख रुपए रखेगा।)

शतरंज के बोर्ड पर वर्ग की संख्या	धनराशि ( रुपयों में )
पहला वर्ग	1
दूसरा वर्ग	2
तीसरा वग	4

Answer 1

दिया गया है, एक 8 × 8 ग्रिड।

अब, प्रत्येक पंक्ति का योग ज्ञात कीजिए,

उदा. पहली पंक्ति = 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + 2⁷

= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 255

दूसरी पंक्ति = 2⁸ + 2⁹ + 2¹⁰ + 2¹¹ + 2¹² + 2¹³ + 2¹⁴ + 2¹⁵

= 2⁸ (2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + 2⁷)

= 2⁸ × 255 = 255 × 256 = 65280

तीसरी पंक्ति = 2¹⁶ × 255 = 16711680   ...[∵ 2⁸ = 256 और 2¹⁶ = 2⁸ × 2⁸ = 256 × 256 और इसी तरह]