Advertisements
Advertisements
प्रश्न
बिंदू A, B आणि C केंद्र असलेली तीन वर्तुळे परस्परांना बाहेरून स्पर्श करतात. जर AB = 36, BC = 32 आणि CA = 30 असेल, तर प्रत्येक वर्तुळाची त्रिज्या काढा.
उत्तर
पक्ष: AB = 36, BC = 32, CA = 30
काढा : प्रत्येक वर्तुळाची त्रिज्या
उकल:
समजा, x, y, z या अनुक्रमे केंद्र A, B व C असणाऱ्या वर्तुळांच्या त्रिज्या आहेत.
AP = RA = x, PB = BQ = y, CR = QC = z
AB = AP + PB …[A – P – B]
∴ 36 = x + y ........…(ii)[(i) व पक्ष वरून]
∴ BC = BQ + QC …[B – Q – C]
∴ 32 = y + z .....(iii) [(i) व पक्ष वरून]
CA = CR + RA …[C – R – A]
∴ 30 = z + x .........(iv) [(i) व पक्ष वरून]
आता,
AB + BC + CA = 36 + 32 + 30
∴ (AP + PB) + (BQ + QC) + (CR + RA) = 98 …[A – P – B, B – Q – C, C – R – A]
∴ (x + y) + (y + z) + (z + x) = 98 .......[(i) वरून]
∴ 2x + 2y + 2z = 98
∴ 2(x + y + z) = 98
∴ x + y + z = `98/2`
∴ x + y + z = 49
∴ (x + y) + z = 49
∴ 36 + z = 49 ..............[(ii) वरून]
∴ z = 49 – 36
∴ z = 13 .................(v)
y + z = 32 ................[(iii) वरून]
∴ y + 13 = 32 ..............[(v) वरून]
∴ y = 32 – 13
∴ y = 19
z + x = 30 ........[(iv) वरून]
∴ 13 + x = 30 ....................[(v) वरून]
∴ x = 30 – 13
∴ x = 17
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
प्रत्येक उपप्रश्नासाठी चार पर्यायी उत्तरे दिली आहेत. त्यांपैकी अचूक पर्याय निवडा.
‘एक वर्तुळ एका समांतरभुज चौकोनाच्या सर्व बाजूंना स्पर्श करते, तर तो समांतरभुज चौकोन ______ असला पाहिजे’, या विधानातील रिकाम्या जागी योग्य शब्द लिहा.
सोबतच्या आकृतीत, केंद्र X आणि Y असलेली वर्तुळे परस्परांना बिंदू Z मध्ये स्पर्श करतात. बिंदू Z मधून जाणारी वृत्तछेदिका त्या वर्तुळांना अनुक्रमे बिंदू A व बिंदू B मध्ये छेदते. तर सिद्ध करा, त्रिज्या XA || त्रिज्या YB. खाली दिलेल्या सिद्धतेतील रिकाम्या जागा भरून पूर्ण सिद्धता लिहून काढा.
रचना : रेख XZ आणि ______ काढले.
सिद्धता : स्पर्शवर्तुळांच्या प्रमेयानुसार, बिंदू X, Z, Y हे ______ आहेत.
∴ ∠XZA ≅ ______ विरुद्ध कोन
∠XZA = ∠BZY = a मानू ______ (I)
आता, रेख XA ≅ रेख XZ ______(______)
∴ ∠XAZ = ______ = a ______ (समद्‌विभुज त्रिकोणाचे प्रमेय) (II)
तसेच रेख YB ≅ ______ ______(______)
∴ ∠BZY = ______ = a ______(______) (III)
∴ (I), (II) व (III) वरून,
∠XAZ = ______
∴ त्रिज्या XA || त्रिज्या YB ______(______)
आकृती मध्ये, केंद्र X व Y असणारी अंतर्स्पर्शी वर्तुळे बिंदू Z मध्ये स्पर्श करतात. रेख BZ ही मोठ्या वर्तुळाची जीवा लहान वर्तुळाला बिंदू A मध्ये छेदते. तर सिद्ध करा - रेख AX || रेख BY.
वर्तुळाचे कोणतेही तीन बिंदू एकरेषीय नसतात, हे सिद्ध करा.
एका बिंदूतून जाणारी किती वर्तुळे काढता येतील?
सोबतच्या आकृतीत, केंद्र A असलेल्या वर्तुळाला रेषा MN बिंदू M मध्ये स्पर्श करते. जर AN = 13 तसेच MN = 5 असेल, तर वर्तुळाची त्रिज्या काढा.
एका वर्तुळाच्या केंद्रापासून 15 सेमी अंतरावरील एका बिंदूतून त्या वर्तुळाला काढलेल्या स्पर्शिकाखंडाची लांबी 12 सेमी असेल, तर त्या वर्तुळाचा व्यास काढा.
आकृतीमध्ये, जीवा AC आणि जीवा DE बिंदू B मध्ये छेदतात. जर ∠ABE = 100° आणि m(कंस AE) = 95°, तर m(कंस DC) काढा.
आकृतीमध्ये, `square`ABCD च्या बाजूंना आतून स्पर्श करणाऱ्या वर्तुळाचा केंद्र O आहे. जर AD ⊥ DC तसेच BC= 38, QB = 27, DC = 25 असेल, तर वर्तुळाची त्रिज्या काढा.
एका वर्तुळाची त्रिज्या 5 सेमी आहे. तर त्या वर्तुळातील सर्वात मोठया जीवेची लांबी किती?
