Question

बृहस्पति के एक उपग्रह, आयो (Io) की कक्षीय अवधि 1.769 दिन तथा कक्षा की त्रिज्या 4.22 × 10⁸ m है। यह दर्शाइए कि बृहस्पति का द्रव्यमान सूर्य के द्रव्यमान का लगभग 1/1000 गुना है।

Answer 1

बृहस्पति के उपग्रह का परिंक्रमण काल

`"T" = 2pi sqrt("r"^3/"GM"_"J")` [जहाँ  M_J= बृहस्पति (Jupiter) का द्रव्यमान]

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

`"T"^2 = 4pi^2"r"^3//"GM"_"J"`

∴ `"M"_"J" =  (4pi^2"r"^3)/("T"^2"G")`  ...(1)

यहाँ कक्षा की त्रिज्या, r = `4.22 xx 10^8` m

कक्षीय अवधि अर्थात परिक्रमण काल

T = 1.769 दिन  = 1.769 × 24 × 60 × 60 s

= 1.53 × 10⁵ s

∴ `"M"_"J" = [(4 xx (3.14)^2(4.22 xx 10^8)^3)/((1.53 xx 10^5)^2 xx (6.67 xx 10^-11))]` kg

= 1.90 × 10²⁷ kg

परन्तु सूर्य का द्रव्यमान `"M"_"s" = 1.99 xx 10^30` kg

∴ `"M"_"J"/"M"_"s" = (1.90 xx 10^27  "kg")/(1.99 xx 10^30  "kg")`

= `1/10^3``

= `1/1000`

अर्थात `"M"_"J" = (1/1000) "M"_"s"`  (यही सिद्ध करना था)