Question

Find k so that x² + 2x + k is a factor of 2x⁴ + x³ – 14 x² + 5x + 6. Also find all the zeroes of the two polynomials.

Answer 1

Using division algorithm, we get

                      ${\displaystyle 2x^2-3x+(-8-2k)}$
${\displaystyle x^2+2x+k\text{)}\overline{2x^4+x^3-14x^2+5x+6}}$
                      2x⁴ + 4x³ + 2kx²
                      (–)  (–)     (–)
                                                                           
                           –3x³ – (2k + 14)x² + 5x + 6
                           –3x³ – 6x²              – 3kx
                           (+)  (+)                  (+)

                                                                             
                           (–8 – 2k)x² + (3k + 5)x + 6
                           (–8 – 2k)x² + 2(–8 – 2k)x + k(–8 – 2k)
                           (–)             (–)                  (–)

                                                                              
                                   (7k + 21)x + (6 + 8k + 2k²)

Since, (x² + 2x + k) is a factor of 2x⁴ + x³ – 14x² + 5x + 6

So, remainder should be zero.

⇒ (7k + 21 )x + (2k² + 8k + 6) = 0 – x + 0

⇒ 7k + 21 = 0 and 2k² + 8k + 6 = 0

⇒ k = –3 or k² + 4k + 3 = 0

⇒ k² + 3k + k + 3 = 0

⇒ (k + 1)(k + 3) = 0

⇒ k = –1 or –3

For k = –3, remainder is zero.

∴ The required value of k = –3.

Also, dividend = Divisor x Quotient + Remainder

⇒ 2x⁴ + x³ – 14x² + 5x + 6 = (x² + 2x – 3)(2x² – 3x – 2)

= (x² + 3x – x – 3)(2x² – 4x + x – 2)

= (x – 1)(x + 3)(x – 2)(2x + 1)

Hence, the zeroes of x² + 2x – 3 are 1, –3 and the zeroes of 2x² – 3x – 2 are ${\displaystyle 2,-\frac{1}{2}}$.

Thus, the zeroes of 2x⁴ + x³ – 14x² + 5x + 6 are 1, –3, ${\displaystyle -\frac{1}{2}}$.