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प्रश्न
जब कोई हाइड्रोजन परमाणु स्तर n से स्तर (n-1) पर व्युत्तेजित होता है तो उत्सर्जित विकिरण की आवृत्ति हेतु व्यंजक प्राप्त कीजिए।n के अधिक मान हेतु, दर्शाइए कि यह आवृत्ति, इलेक्ट्रॉन की कक्षा में परिक्रमण की क्लासिकी आवृत्ति के बराबर है।
उत्तर
n वें ऊर्जा स्तर में हाइड्रोजन परमाणु की ऊर्जा निम्नलिखित है
`"E"_"n" = - (2pi^2 "me"^4 k^2)/("n"^2"h"^2) ...["जहाँ" k = 1/(4piepsilon_0)]`
∴ (n - 1) वें ऊर्जा स्तर से (n - 1) वें ऊर्जा स्तर में लौटने पर v आवृति का विकिरण उत्सर्जित करता है तो
hv = `"E"_"n" - "E"_("n - 1") = (2pi^2"me"^4k^2)/"h"^2 [1/(("n" - 1)^2) - 1/"n"^2]`
`=> "v" = (2pi^2"me"^4"k"^2)/"h"^3 * ("n"^2 - ("n - 1")^2)/(("n - 1")^2 "n"^2)`
`=> "v" = (2pi^2"me"^4"k"^2)/"h"^3 * ((2"n" - 1))/(("n" - 1)^2"n"^2)` ...(1)
यही अभीष्ट व्यंजक है।
यदि n का मान अधिक है तो (n - 1) ≈ n तथा (2n - 1) ≈ 2n
तब v = `(2pi^2"me"^4"k"^2)/"h"^3 * "2n"/("n"^2 * "n"^2)`
`=> "v" = (4pi^2 "me"^4"k"^2)/("n"^3"h"^3)` ....(2)
पुनः बोर के परमाणु मॉडल के अनुसार n वें ऊर्जा स्तर में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग
`"mv"_"n""r" = "nh"/(2pi) => "v"_"n" = "nh"/(2pi"mr")`
जबकि r = `("n"^2"h"^2)/(4pi^2"mke"^2)`
∴ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की क्लासिकी घूर्णन आवृति
`"v"_"e" = "v"_"n"/(2pi"r") = ("nh"//2pi"mr")/(2pi"r")`
`= "nh"/(4pi^2"mr"^2) = "nh"/(4pi^2"m" (("n"^2"h"^2)/(4pi^2 "mke"))^2)`
`"v"_"e" = (4pi^2"mk"^2"e"^4)/("n"^3"h"^3)` ...(3)
अत: समीकरण (2) एवं (3) से स्पष्ट है कि के उच्च मानों हेतु 7वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की क्लासिकी घूर्णन आवृत्ति, हाइड्रोजन परमाणु द्वारा n वें ऊर्जा स्तर से (n-1) वें ऊर्जा स्तर में जाने के दौरान उत्सर्जित विकिरण की आवृत्ति के बराबर होती है।
