Question

किसी स्रोत में फॉस्फोरस के दो रेडियो न्यूक्लाइड निहित हैं \[\ce{_{15}^{32}{P}}\] (T_1/2 = 14.3 d) एवं \[\ce{_{15}^{33}{P}}\] (1/2 = 25.3d)। प्रारम्भ में \[\ce{_{15}^{33}{P}}\] से 10% क्षय प्राप्त होता है। इससे 90% क्षय प्राप्त करने के लिए कितने समय प्रतीक्षा करनी होगी?

Answer 1

माना प्रारम्भ में \[\ce{_{15}^{33}{P}}\] तथा \[\ce{_{15}^{32}{P}}\] को रेडियोऐक्टिवताएँ R₀₁ व R₀₂ हैं तथा । समय पश्चात् इनकी रेडियोऐक्टिवताएँ R₁ व R₂ हैं।

तब प्रारम्भ में, पदार्थ की कुल सक्रियता = R₀₁ + R₀₂

परन्तु R₀₁ = 10 % प्रारंभिक सक्रियता 

`= 10/100` (R₀₁ + R₀₂)

⇒ 10 R₀₁ = R₀₁ + R₀₂

या 9R₀₁ = R₀₂       ....(1)

पुनः t समय पश्चात् कुल सक्रियता = R₁ + R₂

परन्तु R₁ = 90% कुल सक्रियता

`= 90/100 ("R"_1 + "R"_2)`

⇒ 10R₁ = 9R₁ + 9R₂ 

⇒ R₁ = 9R₂      ...(2)

समीकरण (2) को (1) से भाग करने पर, 

`"R"_1/(9"R"_01) = (9"R"_2)/"R"_02`

या `"R"_1/"R"_01 = 81 "R"_2/"R"_02`     ....(3) 

`""_15^32"P"` का क्षय स्थिरांक `lambda_1 = 0.693/("T"_(1//2)) = 0.693/25.3` प्रतिदिन

`""_15^33"P"` का क्षय स्थिरांक `lambda_2 = 0.693/("T"_(1//2)) = 0.693/14.3` प्रतिदिन

परन्तु R = R₀e^-λt 

∴ प्रथम पदार्थ के लिए, `"R"_1 = "R"_01"e"^(-lambda_1"t") => "R"_1/"R"_01 = "e"^(-lambda_1"t")`

इसी प्रकार दूसरे पदार्थ के लिए, `"R"_2/"R"_02 = "e"^(- lambda_2"t")`

∴ समीकरण (3) से, `"e"^(-lambda_1"t") = 81"e"^(- lambda_2"t")` या `("e"^(-lambda_1"t"))/("e"^(-lambda_2"t"))` = 81 

या `"e"^((lambda_2 - lambda_1)"t")` = 81

दोनों पक्षों का log लेने पर,

(λ₂ - λ₁)t log_ee = log_e81 = 2.303 log₁₀81

या (λ₂ - λ₁)t = 2.303 × 1.9085     [∵ log₁₀81 = 1.9085]

या `[0.693/14.3 - 0.693/25.3]"t" = 4.3953`

या `(0.693 (25.3 - 14.3))/(25.3 xx 14.3)`t = 4.3953

⇒ अभीष्ट समय दिन t = `(4.3953 xx 25.3 xx 14.3)/(0.693 xx 11)` = 209 दिन