Advertisements
Advertisements
प्रश्न
क्या x6 + 2x3 + x − 1 को x में घात 5 के एक बहुपद् से भाग देने पर भागफल x2 − 1 हो सकता है?
उत्तर
नहीं, x6 + 2x3 + x – 1 को घात 5 वाले x वाले बहुपद से विभाजित करने पर x2 – 1 भागफल नहीं हो सकता।
औचित्य:
जब एक घात 6 बहुपद को घात 5 बहुपद से विभाजित किया जाता है,
भागफल डिग्री 1 का होगा।
मान लें कि (x2 – 1) घात 6 बहुपद को विभाजित करता है और प्राप्त भागफल घात 5 बहुपद (1) है।
हमारी धारणा के अनुसार,
(डिग्री 6 बहुपद) = (x2 – 1)(डिग्री 5 बहुपद) + r(x) .....[चूँकि, (a = bq + r)]
= (डिग्री 7 बहुपद) + r(x) ......[चूँकि, (x2 पद × x5 पद = x7 पद)]
= (डिग्री 7 बहुपद)
उपरोक्त समीकरण से, यह स्पष्ट है कि, हमारी धारणा का खंडन किया गया है।
x2 – 1, x6 + 2x3 + x – 1 को घात 5 वाले x वाले बहुपद से विभाजित करने पर भागफल नहीं हो सकता
अत: सिद्ध हुआ।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके, निम्न में p(x) को g(x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए:
p(x) = x4 - 5x + 6, g(x) = 2 - x2
पहले बहुपद से दूसरे बहुपद को भाग करके, जाँच कीजिए कि क्या प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखंड है:
x3 - 3x + 1, x5 - 4x3 + x2 + 3x + 1
3x4 + 6x3 - 2x2 - 10x - 5 के अन्य सभी शून्यक ज्ञात कीजिए, यदि इसके दो शून्यक `sqrt(5/3)` और `-sqrt(5/3)` हैं।
बहुपदों p(x), g(x), q(x) और r(x) के ऐसे उदाहरण दीजिए जो विभाजन एल्गोरिथ्म को संतुष्ट करते हों तथा घात p(x) = घात q(x)।
बहुपदों p(x), g(x), q(x) और r(x) के ऐसे उदाहरण दीजिए जो विभाजन एल्गोरिथ्म को संतुष्ट करते हों तथा घात r(x) = 0।
यदि बहुपद p(x) को बहुपद g(x) से भाग देने पर भागफल शून्य हो, तो p(x) और g(x) की घातों में क्या संबंध है?
k का ऐसा मान ज्ञात कीजिए कि x2 + 2x + k बहुपद 2x4 + x3 – 14x2 + 5x + 6 का एक गुणनखंड हो जाए। इन दोनों बहुपदों के सभी शून्यक भी ज्ञात कौजिए।
त्रिघात बहुपद `x^3 - 3sqrt5x^2 + 13x - 3sqrt5` का एक गुणनखंड `x - sqrt5` दिया है। इस बहुपद के सभी शून्यक ज्ञात कीजिए।
a और b के किन मानों के लिए, q(x) = x3 + 2x2 + a के शून्यक बहुपद p(x) = x5 – x4 – 4x3 + 3x2 + 3x + b के भी शून्यक होंगे? p(x) के कौन से शून्यक q(x) के शून्यक नहीं है?
