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प्रश्न
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।
`[x sin^2 (y/x) - y]dx + x dy = 0; y = pi/4` यदि x = 1
उत्तर
दिया गया समीकरण है,
`[x sin^2 (y/x) - y] dx + x dy = 0`
`dy/dx = (x sin^2 y/x - y)/x`
`= (y - x sin^2 y/x)/x`
`= y/x - sin^2 y/x` ....(1)
y = vx रखें ताकि `dy/dx = v - sin^2 v`
∴ (1) से v + x `(dv)/dx = v - sin^2 v`
⇒ `x (dv)/dx = - sin^2 v`
⇒ `cosec^2 v dv = - dx/x`
`int cosec^2 v dv = - int dx/x` को एकीकृत करने पर,
⇒ - cot v = - log |x| + C
⇒ log |x| - cot v = C
⇒ `log |x| - cot y/x = C` ....(2)
जब x = 1, `y = pi/4`
∴ `log |1| - cot pi/4 = C`
⇒ 0 - 1 = C
⇒ C = -1
(2) में रखने पर, log |x| - cot `y/x` = -1
⇒ `cot (y/x) = log |x| + log |e|`
जो आवश्यक समाधान है।
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