Question

Using beta functions evaluate `int_0^(pi/6)  cos^6 3θ.sinθ dθ` 

Answer 1

let I= `int_0^(pi/6)   cos^6 3θ. sin^2 6θ  dθ` 

Put  ` 3θ =t` 

Diff. w.r.t 

`dθ=dt/3`                   Limit:`[0,pi/2]` 

∴ `I=1/3 int_0^pi/2  cos^6t.sin^2 2tdt` 

=`4/3 int_0^(pi/2) cos^3 t(sin t.cost)^2 dt` 

=`4/3 int_0^(pi/2) cos^5 t.sin^2t.dt` 

=`4/3xx1/2xxβ (3,3/2)`       ... `{int_0^(pi/2 ) cos^m t. sin^n t.=1/2xxβ (m+1,n+1)}` 

∴ `I=32/315`

`