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प्रश्न
यदि y = `e^(a cos^(-1)x)`, -1 ≤ x ≤ 1 है तो दर्शाइए कि `(1 - x^2) (d^2y)/dx^2 - x dy/dx - a^2 y = 0`
उत्तर
y = `e^(a cos^(-1)x)`
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`dy/dx = e^(a cos^(-1)x) d/dx a cos^-1 x`
`= e^(a cos^(-1)x) (- a)/sqrt(1 - x^2) = (- ay)/(sqrt(1 - x^2))`
`sqrt(1 - x^2)` से गुणा करने पर,
`=> sqrt(1 - x^2) dy/dx` = - ay
वर्ग करने पर,
`(dy/dx)^2 (1 - x^2) = a^2y^2`
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`=> 2 (dy/dx) (d^2y)/dx^2 (1 - x^2) + (dy/dx)^2 (- 2x) = 2a^2 y dy/dx`
`2 dy/dx` से भाग देने पर,
`(d^2y)/dx^2 (1 - x^2) - x dy/dx = a^2 y`
अतः `(1 - x^2) (d^2y)/dx^2 - x(dy/dx) - a^2 y = 0`
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f(x) = x2 - 1 के लिए x ∈ [1, 2]
