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Question
दर्शाइए कि किसी वर्ग की क्रमागत भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने पर बना चतुर्भुज भी एक वर्ग होता है।
Solution
दिया गया है - एक वर्ग ABCD में, P, Q, R और S क्रमश : AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं।
दर्शाना है - PQRS एक वर्ग है।
रचना - AC और BD को मिलाइए।
उपपत्ति - चूँकि, ABCD एक वर्ग है।
∴ AB = BC = CD = AD
साथ ही, P, Q, R और S क्रमश : AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं।
तब, △ADC में, SR || AC
और SR = `1/2`AC [मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा] ...(i)
∆ABC में, PQ || AC
तथा PQ = `1/2`AC ...(ii)
समीकरण (i) और (ii) से,
SR || PQ और SR = PQ = `1/2`AC ...(iii)
इसी तरह, SP || BD और BD || RQ
∴ SP || RQ और SP = `1/2`BD
और RQ = `1/2`BD
∴ SP = RQ = `1/2`BD
चूँकि, वर्ग के विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
∴ AC = BD
⇒ SP = RQ = `1/2`AC ...(iv)
समीकरण (iii) और (iv) से,
SR = PQ = SP = RQ ...[सभी भुजाएँ बराबर हैं।]
अब, चतुर्भुज OERF में,
OE || FR और OF || ER
∴ ∠EOF = ∠ERF = 90°
अत:, PQRS एक वर्ग है।
अतः सिद्ध हुआ।
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