Question

एक आहारविद् दो प्रकार के भोज्यों X और Y को इस प्रकार मिलाना चाहता है कि मिश्रण में विटामिन A, की कम से कम 10 मात्रक, विटामिन B की कम से कम 12 मात्रक और विटामिन C की 8 मात्रक हों 1 kg भोज्यों में विटामिनों की मात्रा निम्नलिखित सारणी में दी गई है |

भोज्य	विटामिन A	विटामिन B	विटामिन C
X	1	2	3
Y	2	2	1

भोज्य X के 1 kg का मूल्य Rs 16 और भोज्य y के 1 kg का मूल्य Rs 20 है | वांछित आहार के लिए मिश्रण का न्यूनतम मूल्य ज्ञात कीजिए | 

Answer 1

मिश्रण में x किलोग्राम भोजन X और Y किलो भोजन Y होने दें | दी गई समस्या का गणितीय सूत्रीकरण इस प्रकार है | कम से कम z = 16x + 20y ................(1)

बाधाओं के अधीन,

x + 2y ≥ 10 ..............(2)

x + y ≥ 6 ...................(3)

3x + y ≥ 8 ............(4)

x, y ≥ 0 .............(5)

बाधाओं की प्रणाली द्वारा निर्धारित व्यवहार्य क्षेत्र प्रकार है | 

संभव क्षेत्र के कोने बिंदु ए(10, 0), बी(2, 4), सी(1, 5) और डी(0, 8) हैं |

इन कोने बिंदुओं पर z का मान इस प्रकार है | कॉर्नर पॉइंट z = 16x + 20y

Corner point	x = 16x + 20y
A(10, 0)	160
B(2, 4)	112	→ Minimum
C(1, 5)	116
D(0, 8)	160

चूंकि संभव क्षेत्र अप्रभावित है, इसलिए 112, z का न्यूनतम मूल्य हो सकता है या नहीं भी हो सकता है | इसके लिए, हम असमानता का एक ग्राफ खींचते है, 16x + 20y < 112 या 4x + 5y < 28, और जांचें कि परिणामी आधे विमान में संभव क्षेत्र के साथ अंक हैं या नहीं |

यह देखा जा सकता है कि संभव क्षेत्र का 4x + 5y < 28 के साथ कोई सामान्य बिंदु नहीं है, इसलिए, z का न्यूनतम मूल्य 112 (2, 4) है | इस प्रकार, मिश्रण में 2 किलो भोजन x और 4 किलो भोजन Y होना चाहिए | मिश्रण की न्यूनतम लागत 112 रुपये है |