Question

Evaluate: `int_0^(pi/2) cosx/(( cos  x/2 + sin  x/2)^3) dx`

Options

• `2 - sqrt(2)`

• `2 + sqrt(2)`

• `3 + sqrt(3)`

• `3 - sqrt(3)`

Answer 1

`2 - sqrt(2)`

Explanation:

We have, I = `int_0^(pi/2) cosx/((cos  x/2 + sin  x/2)^3)  dx`

= `int_0^(pi/2) (cos^2  x/2 - sin^2  x/2)/((cos  x/2 + sin  x/2)^3)  dx`

= `int_0^(pi/2)  (cos  x/2 - sin  x/2)/((cos  x/2 + sin  x/2)^2)  dx`

Let `cos  x/2 + sin  x/2` = t.

Then, `1/2(- sin  x/2 + cos  x/2) dx` = dt

⇒ `(cos  x/2 - sin  x/2) dx` = 2dt

Also, x = 0 

⇒ t = 1 and x = `pi/2`

⇒ t = `sqrt(2)`

∴ I = `int_1^sqrt(2) (2dt)/t^2`

= `2int_1^sqrt(2) 1/t^2  dt` 

= `2[- 1/t]_1^sqrt(2)`

= `2[- 1/sqrt(2) + 1]`

= `(2  - sqrt(2))`