Question

शेजारील आकृतीत, रेषा l ही केंद्र O असलेल्या वर्तुळाला बिंदू P मध्ये स्पर्श करते. बिंदू Q हा त्रिज्या OP चा मध्यबिंदू आहे. बिंदू Q ला सामावणारी जीवा RS || रेषा l. जर RS 12 सेमी असेल, तर वर्तुळाची त्रिज्या काढा. 

Answer 1

 

वर्तुळाची त्रिज्या r मानू.

रेषा l ही वर्तुळाची P बिंदूत स्पर्शिका असून रेख OP ही त्रिज्या आहे. ......[पक्ष]

∴ रेख OP ⊥ रेषा l .....[स्पर्शिका-त्रिज्या प्रमेय]

जीवा RS || रेषा l ..........[पक्ष]

∴ रेख OP ⊥ जीवा RS

∴ QS = `1/2`RS  ......[वर्तुळकेंद्रापासून जीवेवर टाकलेला लंब जीवेस दुभागतो.]

= `1/2 xx 12 = 6` सेमी

तसेच, OQ = `1/2`OP  .....[बिंदू O हा OP चा मध्यबिंदू आहे.]

= `1/2` r

ΔOQS मध्ये, ∠OQS = 90° .......[रेख OP ⊥ जीवा RS]

∴ OS² = OQ² + QS²  .......[पायथागोरसचे प्रमेय] 

∴ r² = `(1/2 "r")^2 + 6^2`

∴ r² = `1/4 "r"^2 + 36`

∴ r² - `1/4 "r"^2` = 36

∴ `3/4 "r"^2 = 36`

∴ r² = `(36 xx 4)/3`  ∴ r² = 48

∴ r = `sqrt(48)`

= `4sqrt3` सेमी  ............[दोन्ही बाजूंचे वर्गमूळ घेऊन]

∴ दिलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या `4sqrt3` सेमी आहे.