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Question
सिद्ध कीजिए कि एक वर्ग की किसी भुजा पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल उसी वर्ग के एक विकर्ण पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
Solution
मान लीजिए ABCD एक वर्ग है। जिसका एक विकर्ण AC है। वर्ग की भुजा AD पर समबाहु ∆EAD एवं उसके विकर्ण AC पर समबाहु ∆FAC बने हैं।
चूँकि दो समबाहु त्रिभुज सदैव समरूप होते हैं।
∆EAD ∼ ∆FAC
⇒ `("ar"("EAD"))/("ar"("FAC")) = ("AD"/"AC")^2` [समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल प्रगुण, प्रमेय 6.6 से]
⇒ `("ar"("EAD"))/("ar"("FAC")) = ("AD"/("AD"sqrt2))^2` [वर्ग का विकर्ण = वर्ग का भुजा `sqrt2`]
⇒ `("ar"("EAD"))/("ar"("FAC")) = (1/sqrt2)^2 = 1/2`
⇒ ar(EAD) = `1/2` ar(FAC)
अतः किसी वर्ग की भुजा पर बने समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल उसी वर्ग के विकर्ण पर बने समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
इति सिद्धम्
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