Question

ΔABC मध्ये, रेख AD ⊥ बाजू BC, रेख BE ⊥ बाजू AC, रेख CF ⊥ बाजू AB. बिंदू O हा शिरोलंबसंपात आहे. तर बिंदू O हा ΔDEF चा अंतर्मध्य होतो, हे सिद्ध करा. 

 

Answer 1

पक्ष: रेख AD ⊥ बाजू BC, रेख BE ⊥ बाजू AC, रेख CF ⊥ बाजू AB.

साध्य: बिंदू O हा ΔDEF चा अंतर्मध्य आहे.

रचना: DE, EF व DF काढा. 

सिद्धता: 

∠OFA = ∠OEA = 90° .....[पक्ष]

आता, ∠OFA + ∠OEA = 90° + 90°

∴ ∠OFA + ∠OEA = 180°

∴ `square`OFAE हा चक्रीय चौकोन आहे. .......[चक्रीय चौकोनाच्या प्रमेयाचा व्यत्यास]

∴ बिंदू O, F, A, E हे एका वर्तुळावर आहेत

∴ रेख OE तिच्या एकाच बाजूला ∠OFE व ∠OAE हे एकरूप कोन निश्चित करते.

∴ ∠OFE = ∠OAE ......(i)

∠OFB = ∠ODB = 90°   .....[पक्ष]

आता, ∠OFB + ∠ODB = 90° + 90°

∴ ∠OFB + ∠ODB = 180°

∴ `square`OFBD हा चक्रीय चौकोन आहे. .......[चक्रीय चौकोनाच्या प्रमेयाचा व्यत्यास]

∴ बिंदू O, F, B, D हे एका वर्तुळावर आहेत

∴ रेख OD तिच्या एकाच बाजूला ∠OFD व ∠OBD हे एकरूप कोन निश्चित करते.

∴ ∠OFD = ∠OBD .....(ii)

ΔAEO व ΔBDO मध्ये,

∠AEO = ∠BDO   .....[प्रत्येक कोनाचे माप 90° आहे.]

∠AOE = ∠BOD ......[विरुद्ध कोन]

∴ ΔAEO ∼ ΔBDO  .....[समरूपतेची कोको कसोटी]

∴ ∠OAE = ∠OBD .....(iii) [समरूप त्रिकोणांचे संगत कोन]

∴ ∠OFE = ∠OFD ...........[(i), (ii) व (iii) वरून]

∴ किरण FO ∠EFD ला दुभागतो.

त्याचप्रमाणे आपण सिद्ध करू शकतो, की किरण EO व किरण DO हे अनुक्रमे ∠FED व ∠FDE ला दुभागतात.

∴ बिंदू O हा ΔDEF च्या ∠D, ∠E व ∠F च्या कोनदुभाजकांचा छेदनबिंदू आहे.

∴ बिंदू O हा ΔDEF चा अंतर्मध्य आहे.