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प्रश्न
ΔABC में, भुजा BC को एक वृत्त बाह्यभाग में स्पर्श करता है। उसी प्रकार भुजा AC और भुजा AB को आगे बढ़ाने पर यह वृत्त को बिन्दु N तथा बिन्दु M पर स्पर्श करता है, तो सिद्ध कीजिए: AM = `1/2`(ΔABC की परिमिति)
उत्तर
दत्त: रेखा AN और रेखा AM वृत्त की स्पर्श रेखाखंड हैं।
साध्य: AM = `1/2`(ΔABC की परिमिति)
उपपत्ति:
1. रेखा AN और रेखा AM वृत्त की स्पर्श रेखाखंड हैं। ....[पक्ष]
2. वृत्त के बाह्य भाग में स्थित बिंदु से उस वृत्त पर खींचे गए स्पर्श रेखाखंड सर्वांगसम होते हैं। ...[स्पर्शरेखाखंड का प्रमेय]
3. AN = AM
4. CP = CN
5. BP = BM
6. ΔABC की परिमिति = AB + AC + BC
= AB + AC + BP + CP
= AB + AC + BM + CN ...[(4) और (5) से]
= AB + BM + AC + CN
= AM + AN
7. ΔABC की परिमिति = AM + AM ...[विधान (3) से]
8. ΔABC की परिमिति = 2AM
∴ AM = `1/2` × (ΔABC की परिमिति)
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