Question

बिन्दु (0, 0, -a) तथा (0, 0, a) पर दो आवेश क्रमशः -q और +q स्थित हैं।

1. बिन्दुओं (0, 0, z) और (x, y, 0) पर स्थिरविद्युत विभव क्या है?
2. मूल बिन्दु से किसी बिन्दु की दूरी पर विभव की निर्भरता ज्ञात कीजिए, जबकि $$\frac{r}{a}$$ >> 1
3. x-अक्ष पर बिन्दु (5, 0, 0) से बिन्दु (-7, 0, 0) तक एक परीक्षण आवेश को ले जाने में कितना कार्य करना होगा? यदि परीक्षण आवेश को उन्हीं बिन्दुओं के बीच x-अक्ष से होकर न ले जाएँ तो क्या उत्तर बदल जाएगा?

Answer 1

दिए गए बिन्दु आवेश एक विद्युत द्विध्रुव बनाते हैं।

आवेशों के बीच की दूरी = 2a

∴ विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण ${\displaystyle \overrightarrow{\text{p}}=\text{q}\times 2\overrightarrow{\text{a}}}$

= ${\displaystyle 2\text{q}\overrightarrow{\text{a}}}$

(a) बिन्दु (0, 0, z) द्विध्रुव की अक्ष पर स्थित है,

∴ इस बिन्दु पर विद्युत विभव V = ${\displaystyle \pm \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot \frac{\text{p}}{{\text{z}}^2-{\text{a}}^2}}$

बिन्दु (x, y, 0) द्विध्रुव के विषुवत तल में स्थित है; अतः इस बिन्दु पर विद्युत विभव शून्य होगा।

(b)

द्विध्रुव के कारण किसी बिन्दु पर विद्युत विभव:

माना कोई बिन्दु P, द्विध्रुव के केन्द्र (मूल बिन्दु) से r दूरी पर स्थित है। इस बिन्दु की बिन्दु आवेशों + q तथा - q से दूरियाँ क्रमशः r₁ तथा r₂ हैं।

तब बिन्दु P पर द्विध्रुव के कारण विद्युत विभव

V = ${\displaystyle \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}(\frac{\text{q}}{{\text{r}}_1}-\frac{\text{q}}{{\text{r}}_2})}$   ...(1)

माना ∠ZOP = θ तथा

Δ OBP में,

${\displaystyle {\text{r}}_1^2={\text{r}}^2+{\text{a}}^2-2\text{ar}\cos \theta }$  ...(2)

तथा Δ AOP में,

${\displaystyle {\text{r}}_2^2={\text{r}}^2+{\text{a}}^2-2\text{ar}\cos ({180}^{\circ }-\theta )}$

या ${\displaystyle {\text{r}}_2^2={\text{r}}^2+{\text{a}}^2+2\text{ar}\cos \theta }$   ...(3)

∴ समीकरण (2) से,

${\displaystyle {\text{r}}_1^2={\text{r}}^2(1-\frac{\text{2a}}{\text{r}}\cos \theta +\frac{{\text{a}}^2}{{\text{r}}^2})}$

${\displaystyle \approx {\text{r}}^2(1-\frac{\text{2a}}{\text{r}}\cos \theta ) ...[\frac{\text{r}}{\text{a}}\text{>>}1 \text{मानते हुए} \frac{\text{a}}{\text{r}} \text{के द्विघात पद छोड़ने पर}]}$

इसी प्रकार ${\displaystyle {\text{r}}_2^2\approx {\text{r}}^2(1+\frac{\text{2a}}{\text{r}}\cos \theta )}$

${\displaystyle \therefore \frac{1}{{\text{r}}_1}\approx \frac{1}{\text{r}}{(1+\frac{\text{2a}}{\text{r}}\cos \theta )}^{-1/2}}$

या ${\displaystyle \frac{1}{{\text{r}}_1}\approx \frac{1}{\text{r}}(1+\frac{\text{a}}{\text{r}}\cos \theta )}$    (द्विपद प्रमेय से)

इसी प्रकार ${\displaystyle \frac{1}{{\text{r}}_1}\approx \frac{1}{\text{r}}(1-\frac{\text{a}}{\text{r}}\cos \theta )}$

∴ समीकरण (1) में मान रखने पर,

V = ${\displaystyle \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\text{q}}{\text{r}}\times \frac{\text{2a}}{\text{r}}\cos \theta }$

${\displaystyle =\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0} \frac{\left(2\text{qa}\right)\cos \theta }{{\text{r}}^2}}$

अतः द्विध्रुव के कारण उसके केन्द्र से r दूरी पर ${\displaystyle (\frac{\text{r}}{\text{a}}>>1)}$ विद्युत विभव

V = ${\displaystyle \frac{\text{p}\cos \theta }{4\pi {\epsilon }_0{\text{r}}^2}}$   जहाँ p = 2qa

परन्तु ${\displaystyle \text{p}\cos \theta =\overrightarrow{\text{p}}\cdot \hat{\text{r}}}$   जहाँ ${\displaystyle \hat{\text{r}},\overrightarrow{\text{r}}}$ की दिशा में एक सदिश है।

∴ V = ${\displaystyle \frac{\overrightarrow{\text{p}}\cdot \hat{\text{r}}}{4\pi {\epsilon }_0{\text{r}}^2}}$

(c) बिन्दु P (5, 0, 0) तथा Q(-7, 0, 0) द्विध्रुव के विषुवत तल में स्थित है; अतः इन दोनों बिन्दुओ पर विभव शुन्य होगा।

∴ परीक्षण आवेश q₀ को बिन्दु P से Q तक ले जाने में किया गया कार्य

W = q₀ [V(Q) - V(P)] = 0    [V(P) = V(Q) = 0]

विद्युत क्षेत्र एक संरक्षी क्षेत्र है जिसमें किया गया कार्य केवल अन्त्य बिन्दुओं पर निर्भर करता है, न की मार्ग पर। 

अतः उत्तर ,में कोई परिवर्तन नहीं आएगा।