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प्रश्न
बिंदुओं P से बने समुच्चय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिनकी बिंदुओं A(4, 0, 0) और B(−4, 0, 0) से दूरियों का योगफल 10 है।
उत्तर
माना बिंदु P के निर्देशांक (x, y, z) हैं।
दिए गए बिंदु A(4, 0, 0) और B(−4, 0, 0) इस प्रकार हैं कि
PA + PB = 10
`sqrt((x - 4)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2) + sqrt((x + 4)^2 + (y + 0)^2 + (z - 0)^2)` = 10
या `sqrt(x^2 + y^2 + z^2 - 8x + 16) = 10 - sqrt(x^2 + y^2 + z^2 + 8x + 16)`
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
`x^2 + y^2 + z^2 - 8x + 16 = 100 + (x^2 + y^2 + z^2 + 8x + 16) - 20 sqrt(x^2 + y^2 + z^2 + 8x + 16)`
−16x −100 = −20`sqrt(x^2 + y^2 + z^2 + 8x + 16)`
= 4x + 25 = `5sqrt(x^2 + y^2 + z^2 + 8x + 16)`
पुनः दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
= (4x + 25)2 = 25(x2 + y2 + z2 + 8x + 16)
= 16x2 + 200x + 625 = 25x2 + 25y2 + 25z2 + 200x + 400
= 9x2 + 25y2 + 25z2 - 225 = 0
अंत: अभीष्ट समीकरण 9x2 + 25y2 + 25z2 - 225 = 0
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