Question

दो घर्षणरहित आनत पथ, जिनमें से एक की ढाल अधिक है। और दूसरे की ढाल कम है, बिंदु A पर मिलते हैं। बिंदु A से प्रत्येक पथ पर एक-एक पत्थर को विरामावस्था से नीचे सरकाया जाता है। क्या ये पत्थर एक ही समय पर नीचे पहुँचेंगे? क्या वे वहाँ एक ही चाल से पहुँचेंगे? व्याख्या कीजिए। यदि θ₁ = 30°, θ₂ = 60° और h= 10 m दिया है तो दोनों पत्थरों की चाल एवं उनके द्वारा नीचे पहुँचने में लिए गए समय क्या हैं?

Answer 1

चित्र से, तल AB की लंबाई, `"l"_1 = "h"/("sin"  theta_1)`

इस तल पर नीचे की ओर पत्थर का त्वरण, a₁ = g sin θ₁

यदि इस तल पर नीचे पहुंचने में पत्थर द्वारा लिया गया समय t₁ सेकंड हो तो, 

`"s" = "ut" + 1/2 "at"^2` से

`"h"/("sin"  theta_1) = 0 xx "t"_1 + 1/2  "g"  "sin"  theta_1 xx "t"_1^2`

सरल करने पर,

`"t"_1 = 1/("sin"  theta_1)  sqrt((2"h")/"g")`

= `1/("sin"  30^circ) sqrt((2 xx 10)/10)`

= `2sqrt2  "सेकंड"`

इसी प्रकार तल AC के लिए इस पर पत्थर के नीचे आने का समय

`"t"_2 =  1/("sin"  theta_1)  sqrt((2"h")/"g")`

= `1/("sin"  60^circ) sqrt((2 xx 10)/10)`

= `(2sqrt2)/sqrt3` सेकंड

अतः गति की समीकरण `"ν"^2 = "u"^2 + 2  "as"` से,

`"ν"^2 = 0 + 2  ("g"  "sin"  theta_1) xx "h"/("sin"  theta_1) = 2"gh"`

अथवा पत्थर की B पर पहुँचने की चाल, 

`"ν" = sqrt(2"gh")`

चूँकि यह पर निर्भर नहीं करती है, अतः AB तथा AC पर नीचे आने वाले पत्थर नीचे एक ही चाल से पहुंचेंगे जिसका मान

`"ν" = sqrt(2"gh")`

= `sqrt(2 xx 10 xx 10)`

= `10sqrt2`

= 10 × 1.41 m/s

= 14.1 m/s