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प्रश्न
किसी 200 m ऊँची खड़ी चट्टान के किनारे से दो पत्थरों को एक साथ ऊपर की ओर 15 m s-1 तथा 30 m s-1 की प्रारंभिक चाल से फेंका जाता है। इसका सत्यापन कीजिए कि संलग्न ग्राफ पहले पत्थर के सापेक्ष दूसरे पत्थर की आपेक्षिक स्थिति का समय के साथ परिवर्तन को प्रदर्शित करता है। वायु के प्रतिरोध को नगण्य मानिए और यह मानिए कि जमीन से टकराने के बाद पत्थर ऊपर की ओर उछलते नहीं। मान लीजिए g = 10 m s-2 । ग्राफ के रेखीय व वक्रीय भागों के लिए समीकरण लिखिए।
उत्तर
पहले पत्थर के लिए,
x(0) = 200 m, ν(0) = 15 m s-1, a = -10 m s-2
अतः t समय पर पहले पत्थर की स्थिति
`"x"_1("t") = "x"(0) + "ν"(0)"t" + 1/2 "a" "t"^2 = 200 + 15 "t" - 5 "t"^2` ...(1)
जब पहला पत्थर जमीं से टकराता है,
`"x"_1("t") = 0 ` या `-5 "t"^2 + 15 "t" + 200 = 0` ...(2)
इसी प्रकार दूसरे पत्थर के लिए,
x(0) = 200 m, ν(0) = 30 m s-1, a = 10 m s-2
अतः t समय पर दूसरे पत्थर की स्थिति
`"x"_2("t") = "x"(0) + "ν"(0) "t" + 1/2 "a" "t"^2 = 200 + 30 "t" - 5 "t"^2` .....(3)
दूसरे पत्थर की पहले पत्थर के सापेक्ष आपेक्षिक स्थिति समिकरण (1) को समीकरण (3) में से घटाकर निम्नवत दी जा सकती है-
x2 (t) - x1(t) = 15 t ...(4)
या x= 15 t ....(5)
जहाँ, x = x2(t) - x1(t), दोनों पत्थरों के बीच पृथक्करण है।
स्पष्ट है की x ∝ t अर्थात जब तक दोनों पत्थर गति करते रहेंगे, उनके बीच पृथक्करण बढ़ता जायेगा।
चूँकि x2(t) - x1(t) तथा t के बीच एक रेखीय संबंध है, इसलिए ग्राफ एक सीधी रेखा होगा। समीकरण (2) को हल करने पर t = 8s अर्थात 8 s बाद पहला पत्थर पृथ्वी पर गिर जायेगा। इसके बाद केवल एक ही पत्थर गति की अवस्था में होगा, अतः इस क्षण (t = 8s पर) दोनों के बीच पृथक्करण अधिकतम होगा। अतः समीकरण (4) में t = 8s रखने पर अधिकतम पृथक्करण 120 m है।
8 s बाद, केवल दूसरा पत्थर गति की अवस्था में होगा; अतः ग्राफ द्विघाती समीकरण के अनुसार परवलयाकार होगा।
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