Question

निम्नलिखित युगपत समीकरणों को हल कीजिए।

${\displaystyle \frac{10}{\text{x}+\text{y}}+\frac{2}{\text{x}-\text{y}}=4;\frac{15}{\text{x}+\text{y}}-\frac{5}{\text{x}-\text{y}}=-2}$

Answer 1

${\displaystyle \frac{10}{\text{x}+\text{y}}+\frac{2}{\text{x}-\text{y}}=4}$ ..............(I)

${\displaystyle \frac{15}{\text{x}+\text{y}}-\frac{5}{\text{x}-\text{y}}=-2}$ ..............(II)

समीकरण (I) तथा (II) में ${\displaystyle \frac{1}{\text{x}+\text{y}}}$ = m तथा ${\displaystyle \frac{1}{\text{x}-\text{y}}}$ = n मान लेने पर,

10m + 2n = 4 ...........(III)

15m − 5n = − 2 ............(IV)

समीकरण (III) के दोनों पक्षों में 5 से गुणा करने पर,

50m + 10n = 20 ............(V)

समीकरण (IV) के दोनों पक्षों में 2 से गुणा करने पर,

30m − 10n = − 4 .............(VI)

समीकरण (V) तथा (VI) को जोड़ने पर,

    50m + 10n = 20 ............(V)
+ 30m − 10n = − 4 ............(IV)
    80m = 16

∴ m = ${\displaystyle \frac{16}{80}}$

∴ m = ${\displaystyle \frac{1}{5}}$

समीकरण (III) में m = ${\displaystyle \frac{1}{5}}$ प्रतिस्थापित करने पर,

10m + 2n = 4

∴ ${\displaystyle 10\times \frac{1}{5}+2\text{n}=4}$

∴ 2 + 2n = 4

∴ 2n = 4 − 2

∴ 2n = 2

∴ n = 1

m तथा n का मान प्रतिस्थापित करने पर,

${\displaystyle \frac{1}{\text{x}+\text{y}}=\frac{1}{5}}$

∴ x + y = 5 ...........(VII)

तथा ${\displaystyle \frac{1}{\text{x}-\text{y}}=1}$

∴ x − y = 1 ........(VIII)

समीकरण (VII) तथा समीकरण (VIII) को जोड़ने पर,

x + y = 5 ......(VII)
x − y = 1  ........(VIII)
2x = 6

∴ x = ${\displaystyle \frac{6}{2}}$ = 3

∴ x = 3

परंतु, ${\displaystyle \frac{1}{\text{x}}}$ = m तथा ${\displaystyle \frac{1}{\text{y}}}$ = n

समीकरण (VII) में x = 3 प्रतिस्थापित करने पर,

x + y = 5

∴ 3 + y = 5

∴ y = 5 − 3 = 2

∴ y = 2

∴ दिए गए समीकरणों का हल (x, y) = (3, 2) है।