Question

R त्रिज्या वाली समांग डिस्क से R/2 त्रिज्या का एक वृत्ताकार भाग काट कर निकाल दिया गया है। इस प्रकार बने वृत्ताकार सुराख का केन्द्र मूल डिस्क के केन्द्र से R/2 दूरी पर है। अवशिष्ट डिस्क के गुरुत्व केन्द्र की स्थिति ज्ञात कीजिए।

Answer 1

माना दिए हुए वृत्ताकार पटल का केन्द्र O और व्यास AB है।
OA = OB = R = त्रिज्या
इस पटल से, व्यास OB को एक वृत्त काट कर निकाल दिया जाता है।
स्पष्टत: दिए हुए पटल का गुरुत्व केन्द्र O पर तथा काटे गए वृत्त का गुरुत्व केन्द्र उसके केन्द्र G₁ पर होगा, जबकि
OG₁ = ${\displaystyle \frac{1}{2}.\text{OB}=\frac{1}{2}\text{R}}$

∵ वृत्तों के क्षेत्रफल उनकी त्रिज्याओं के वर्गों के अनुपात में होते हैं।

∴ ${\displaystyle \frac{\text{काटे गए वृत्त का क्षेत्रफल}}{\text{पूरे पटल का क्षेत्रफल}}=\frac{{\left(\frac{1}{2}\text{R}\right)}^2}{{\text{R}}^2}=\frac{{\left(\frac{1}{4}\text{R}\right)}^2}{{\text{R}}^2}=\frac{1}{4}}$

अर्थात  ${\displaystyle \text{काटे गए वृत्त का क्षेत्रफल}=\frac{1}{4}\left(\text{पूरे पटल का क्षेत्रफल}\right)}$

माना पूरे पटल का भार 4W है, तब कटे हुए वृत्त का भार W हुआ।

∴ शेष पटल का भार  = 4W - W = 3W

यदि शेष भाग का गुरुत्व केन्द्र G है जो स्पष्टतया व्यास AB पर होगा, तब बिन्दु O के परितः आघूर्ण लेने पर,

${\displaystyle 3\text{W}.\text{OG}=\text{W}.{\text{OG}}_1}$ या ${\displaystyle \text{OG}=\frac{1}{3} {\text{OG}}_1=\frac{1}{3} . \frac{1}{2} \text{R}=\frac{1}{6} \text{R}}$

अतः पटल के केन्द्र से शेष भाग के गुरुत्व केन्द्र की दूरी ${\displaystyle \frac{\text{R}}{6}}$ है।