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प्रश्न
सूत्र `"ν"^2 = (2 "gh")/((1 + "k"^2//"R"^2))` को गतिकीय दृष्टि (अर्थात् बलों तथा बल-आघूर्णों विचार) से व्युत्पन्न कीजिए। जहाँ ν लोटनिक गति करते पिंड (वलय, डिस्क, बेलन या गोला) का आनत तल की तली में वेग है। आनत तल पर h वह ऊँचाई है जहाँ से पिण्ड गति प्रारंभ करता है। K सममित अक्ष के परितः पिंड की घूर्णन त्रिज्या है और R पिंड की त्रिज्या है।
उत्तर
माना M द्रव्यमान तथा R त्रिज्या का कोई गोलीय पिण्ड, जिसका द्रव्यमान केन्द्र C है, ऐसे आनत तल पर लुढ़कता है, जो क्षैतिज से θ कोण पर झुका है। इस स्थिति में पिण्ड पर निम्नलिखित बल कार्य करते हैं –
- पिण्ड का भार Mg, ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर
- आनत तल की प्रतिक्रिया N, तल के लम्बवत् ऊपर की ओर
- आनत तल द्वारा पिण्ड पर आरोपित स्पर्शरेखीय चित्र स्थैतिक घर्षण-बल fs आनत तल के समान्तर ऊपर की ओर।
घर्षण-बल fs ही पिण्ड को फिसलने से रोकता है। माना पिण्ड के द्रव्यमान केन्द्र का आनत तल के अनुदिश नीचे की ओर रेखीय त्वरण a है। इन बलों को आनत तल के समान्तर तथा लम्बवत् घटकों में वियोजित करने पर,
Mg sin θ - fs = Ma ...(1)
तथा N - Mg cos θ = 0 ...(2)
चूँकि जब पिंड लुढ़कता है तो स्थैतिक घर्षण - बल fs, पिंड पर एक बल - आघूर्ण τ आरोपित करता है।
अतः τ = fs R
तथा τ = Ia
जहाँ I पिंड का घूर्णन अक्ष के परितः जड़त्व - आघूर्ण तथा a पिंड में उत्पन्न कोणीय त्वरण है।
चूँकि α = `"a"/"R"`; अतः τ के मान के बराबर रखने पर,
`"f"_"s""R" = "I""α" = "Ia"/"R"` अथवा
`"f"_"s" = "Ia"/"R"^2`
fs का मान समीकरण (1) में रखने पर,
`"Mg" "sin" theta - "Ia"/"R"^2 = "Ma"`
अथवा `"Mg" "sin" theta = "Ma" + "Ia"/"R"^2 = "a"("M" + "I"/"R"^2)`; अतः `"a" = ("Mg" "sin" theta)/("M" + ("I"/"R"^2))`
यदि पिंड की घूर्णन त्रिज्या K है तो जड़त्व-आघूर्ण I = MK2
∴ पिंड की द्रव्यमान केंद्र का रेखीय त्वरण `"a" = ("Mg" "sin" theta)/("M" + ("MK"^2/"R"^2)) = ("g" "sin" theta)/(1 + ("K"^2/"R"^2))`
यही बिना फिसले लुढ़कने वाले पिंड के द्रव्यमान केंद्र के रेखीय त्वरण का सुत्र है। माना आनत तल की लम्बाई s है तो सूत्र ν2 = u2 + 2as से, तल के निम्नतम बिंदु पर पहुँचने पर पिंड द्वारा प्राप्त वेग का वर्ग
`"ν"^2 = 0^2 + 2 xx ("g" "sin" theta)/(1 + ("K"^2/"R"^2)) xx "s" `
= `(2 "g" ("s" "sin" theta))/(1 + ("K"^2/"R"^2))`
∵ आनत तल की ऊंचाई h है ; अतः s sin θ = h रखने पर,
`"ν"^2 = (2 "gh")/(1 + ("K"^2/"R"^2)`
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नीचे दिए गए प्रकथन को ध्यानपूर्वक पढिए तथा कारण सहित उत्तर दीजिए कि सत्य है या असत्य?
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नीचे दिए गए प्रकथन को ध्यानपूर्वक पढिए तथा कारण सहित उत्तर दीजिए कि सत्य है या असत्य?
लोटनिक गति करते समय संपर्क बिंदु का तात्क्षणिक त्वरण शून्य होता है।
नीचे दिए गए प्रकथन को ध्यानपूर्वक पढिए तथा कारण सहित उत्तर दीजिए कि सत्य है या असत्य?
परिशुद्ध लोटनिक गति के लिए घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य शून्य होता है।
नीचे दिए गए प्रकथन को ध्यानपूर्वक पढिए तथा कारण सहित उत्तर दीजिए कि सत्य है या असत्य?
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