Question

एक ठोस गोला, भिन्न नति के दो आनत तलों पर एक ही ऊँचाई से लुढ़कने दिया जाता है।

1. क्या वह दोनों बार समान चाल से तली में पहुँचेगा?
2. क्या उसको एक तल पर लुढ़कने में दूसरे से अधिक समय लगेगा?
3. यदि हाँ, तो किस पर और क्यों?

Answer 1

1. θ झुकाव कोण तथा h ऊँचाई के आनत तल पर लुढ़कने वाले सममित पिण्ड का पृथ्वी तल पर पहुँचने पर वेग ν हो तो –
   `"ν"^2 = (2  "gh")/(1 + ("K"^2/"R"^2))`
   जहाँ R = वस्तु की त्रिज्या तथा K = घूर्णन त्रिज्या
   परन्तु गोले के लिए, `"MK"^2 = 2/5  "MR"^2  ⇒ "K"^2/"R"^2 = 2/5`
   अतः `"ν"^2 = (2  "gh")/(1 + (2/5))`  या
   `"ν"^2 = 10/7 "gh"`
   यहाँ पर स्पष्ट है कि गोले को तली पर पहुँचने का वेग आनत तल के झुकाव कोण 8 पर निर्भर नहीं करता, अतः गोला दोनों आनत तलों की तली पर समान चाल से पहुँचेगा।
2. यदि आनत तल की लम्बाई s हो तथा गोले द्वारा तली तक पहुँचने में लिया गया समय t हो तो –
   
   `"s" = 1/2  "αt"^2  =>  "t" = sqrt((2"s")/"α")`
   गोले का त्वरण,  α = `("g"  "sin" θ)/(1 + "K"^2/"R"^2) = ("g"  "sin" θ)/(1 + 2/5) = 5/7  "g"  "sin"  θ`
   परन्तु चित्र से, `"s" = "h"/("sin" θ)`   ∴ समय, `"t" = sqrt((2 xx "h" // "sin" θ)/((5  "g"  "sin" θ)//7))`
   अथवा  `"t" =[sqrt((14"h")/(5"g"))] xx 1/("sin" θ) => "t" ∝ 1/("sin" θ)`
   चूँकि लिया गया समय आनत तल के झुकाव कोण पर निर्भर करता है, अतः दोनों तलों पर लुढ़कने का समय भिन्न-भिन्न होगा।
3. चूंकि t α 1/sin θ तथा 8 का मान बढ़ने से sin θ का मान बढ़ता है।
   अतः θ के कम मान के लिए sin θ का मान कम होने के कारण t का मान अधिक होगा अर्थात् कम ढाल वाले तल पर लुढ़कने में लिया गया समय अधिक होगा।