Question

वक्रों (x - 1)² + y = 1 एवं x² + y² = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer 1

वक्रों के समीकरण

x² + y = 1 …(i)

(x - 1)² + y² = 1

समीकरण (i) वृत्त का समीकरण है। जिसका केंद्र (0, 0) तथा

त्रिज्या 1 इकाई है। जबकि समीकरण (ii) उस वृत्त का समीकरण है जिसका केंद्र (1, 0) तथा त्रिज्या 1 इकाई है।

समीकरण (i) व (ii) को हल करने पर प्रतिच्छेदन बिंदु `(1/2, pm sqrt3/2)` है।
∴ अभीष्ट क्षेत्रफल

= 2 × OCRAO का क्षेत्रफल

= 2 × [OCAO का क्षेत्रफल + CBAC का क्षेत्रफल]

`= 2 [int_0^(1//2) "y  dx"  "(समीकरण (ii) के लिए)" + int_(1//2)^1 "dx"]` (समीकरण (i) के लिए)

`= 2 [int_0^(1//2)  sqrt(1 - (x - 1)^2)  "dx" + int_(1//2)^1   sqrt(1 - x^2)  "dx"]`

`= 2 [1/2  (x - 1) sqrt(1 - (x - 1)^2) + 1/2  sin^-1  (x - 1)]_0^(1//2) + 2x [1/2 x sqrt(1 - x^2) + 1/2  sin^-1  x]_(1//2)^1`

`= [- sqrt3/4 + sin^-1  (- 1/2) - 0 - sin^-1 (-1)] + [0 + sin^-1 (1) - sqrt3/4 - sin^-1 (1/2)]`

`= sqrt3/4 - pi/6 + pi/2 + pi/2 - sqrt3/2 - pi/6`

`= ((2pi)/3 - sqrt3/2)` वर्ग इकाई