Question

आकृती मध्ये रेख PS ही ΔPQR ची मध्यगा आहे आणि PT ⊥ QR तर सिद्ध करा, 

(1) `"PR"^2 = "PS"^2 + "QR" xx "ST" + ("QR"/2)^2`

(2) `"PQ"^2 = "PS"^2 - "QR" xx "ST" + ("QR"/2)^2`

Answer 1

(1) QS = SR = `1/2`QR  .....(i) [S हा बाजू QR चा मध्यबिंदू आहे.]

ΔPSR मध्ये, ∠PSR हा विशालकोन आहे ....[पक्ष]

व PT ⊥ SR ....[पक्ष, Q-S-R]

∴ PR² = SR² + PS² + 2SR × ST .....(ii) [पायथागोरसच्या प्रमेयाचे उपयोजन]

∴ PR² = `(1/2"QR")^2 + "PS"^2 + 2(1/2"QR") xx "ST"` ...[(i) व (ii) वरून]

∴ PR² = `("QR"/2)^2 + "PS"^2 + "QR" xx "ST"`

∴ `"PR"^2 = "PS"^2 + "QR" xx "ST" + ("QR"/2)^2` 

(2) 

∴ ΔPQS मध्ये, ∠PSQ हा लघुकोन आहे ....[पक्ष]

PT ⊥ QS ......[पक्ष, Q-S-R]

∴ PQ² = QS² + PS² - 2QS × ST ....(iii) [पायथागोरसच्या प्रमेयाचे उपयोजन]

∴ PQ² = `(1/2"QR")^2 + "PS"^2 - 2(1/2"QR") xx "ST"` ....[(i) व (iii) वरून]

∴ PQ² = `("QR"/2)^2 + "PS"^2 - "QR" xx "ST"`

∴ `"PQ"^2 = "PS"^2 - "QR" xx "ST" + ("QR"/2)^2`