Question

असे वर्गसमीकरण तयार करा, की ज्याची मुळे 2x² + 2(p + q) x + p² + q² = 0 या समीकरणाच्या मुळांच्या बेरजेचा वर्ग व वजाबाकीचा वर्ग असतील.

Answer 1

दिलेले वर्गसमीकरण,

2x² + 2(p + q) x + p² + q² = 0

दिलेल्या समीकरणाची ax² + bx + c = 0 बरोबर तुलना करून, येथे,

a = 2, b = 2(p + q), c = p² + q²

∴ α + β = `(- b)/a = (- 2(p + q))/2` = - (p + q) आणि

αβ = `c/a = (p^2 + q^2)/2`

जर, (α - β)² = (α + β)² - 4αβ

∴ (α - β)² = `[- (p + q)]^2 - 4 xx (p^2 + q^2)/2`

= (p + q)² - 2(p² + q²)

= p² + 2pq + q² - 2p² - 2q²

= - p² + 2pq - q²

= - (p² - 2pq + q²)

= - (p - q)²  ....[∵ (a² - 2ab + b²) = (a - b)]

दिलेल्या अटीनुसार, वर्गसमीकरणाची मुळे (α + β)² आणि (α - β)² आहेत.

आता, समीकरणाच्या मुळांची बेरीज

= (α + β)² + (α - β)² 

= [- (p + q)]² - (p - q)² 

= (p + q)² - (p - q)² 

= p² + 2pq + q² - (p² - 2pq + q²)  ....[∵ (a + b)² = a² + 2ab + b² आणि (a - b)² = a² - 2ab + b²]

= p² + 2pq + q² - p² + 2pq - q²

= 4pq

समीकरणांच्या मुळांचा गुणाकार

= (α + β)² (α - β)² 

= [- (p + q)]² [- (p - q)²]

= - (p + q)² (p - q)²   .....[a²b² = (ab)²]

= - [(p + q)(p - q)]² = - (p² + q²)²

∴ आपल्याला पाहिजे असणारे वर्गसमीकरण,

x² - [(α + β)² + (α - β)²]x + [(α + β)² (α - β)²] = 0

∴ म्हणजेच, x² - (4pq)x - (p² - q²)² = 0