Advertisements
Advertisements
Question
असे वर्गसमीकरण तयार करा, की ज्याची मुळे 2x2 + 2(p + q) x + p2 + q2 = 0 या समीकरणाच्या मुळांच्या बेरजेचा वर्ग व वजाबाकीचा वर्ग असतील.
Solution
दिलेले वर्गसमीकरण,
2x2 + 2(p + q) x + p2 + q2 = 0
दिलेल्या समीकरणाची ax2 + bx + c = 0 बरोबर तुलना करून, येथे,
a = 2, b = 2(p + q), c = p2 + q2
∴ α + β = `(- b)/a = (- 2(p + q))/2` = - (p + q) आणि
αβ = `c/a = (p^2 + q^2)/2`
जर, (α - β)2 = (α + β)2 - 4αβ
∴ (α - β)2 = `[- (p + q)]^2 - 4 xx (p^2 + q^2)/2`
= (p + q)2 - 2(p2 + q2)
= p2 + 2pq + q2 - 2p2 - 2q2
= - p2 + 2pq - q2
= - (p2 - 2pq + q2)
= - (p - q)2 ....[∵ (a2 - 2ab + b2) = (a - b)]
दिलेल्या अटीनुसार, वर्गसमीकरणाची मुळे (α + β)2 आणि (α - β)2 आहेत.
आता, समीकरणाच्या मुळांची बेरीज
= (α + β)2 + (α - β)2
= [- (p + q)]2 - (p - q)2
= (p + q)2 - (p - q)2
= p2 + 2pq + q2 - (p2 - 2pq + q2) ....[∵ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 आणि (a - b)2 = a2 - 2ab + b2]
= p2 + 2pq + q2 - p2 + 2pq - q2
= 4pq
समीकरणांच्या मुळांचा गुणाकार
= (α + β)2 (α - β)2
= [- (p + q)]2 [- (p - q)2]
= - (p + q)2 (p - q)2 .....[a2b2 = (ab)2]
= - [(p + q)(p - q)]2 = - (p2 + q2)2
∴ आपल्याला पाहिजे असणारे वर्गसमीकरण,
x2 - [(α + β)2 + (α - β)2]x + [(α + β)2 (α - β)2] = 0
∴ म्हणजेच, x2 - (4pq)x - (p2 - q2)2 = 0
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
खालील रिकाम्या चौकटी भरा.
| मुळांची बेरीज | → | वर्गसमीकरण | ← | मुळांचा गुणाकार = 5 |
| ________ |
खालील रिकाम्या चौकटी भरा.
| 2x2 - 4x - 3 = 0 | → | α + β = ____ |
| → | α × β = ____ |
खालील वर्गसमीकरणासाठी विवेचकाची किंमत काढा.
2y2 - 5x + 10 = 0
खालील वर्गसमीकरणासाठी विवेचकाची किंमत काढा.
`sqrt2x^2 + 4x + 2sqrt2 = 0`
खाली दिलेल्या वर्गसमीकरणाच्या मुळाचे स्वरूप ठरवा.
3x2 - 5x + 7 = 0
खाली दिलेल्या वर्गसमीकरणाच्या मुळाचे स्वरूप ठरवा.
`sqrt3x^2 + sqrt2x - 2sqrt3 = 0`
(m − 12)x2 + 2(m − 12) x + 2 = 0 या वर्गसमीकरणाची मुळे वास्तव व समान असतील, तर m ची किंमत काढा.
एका वर्गसमीकरणाच्या दोन मुळांची बेरीज 5 आणि त्यांच्या घनांची बेरीज 35 आहे, तर ते वर्गसमीकरण कोणते?
खालील वर्गसमीकरणाची मुळे वास्तव व समान असतील, तर m ची किंमत काढा.
(m – 12) x2 + 2 (m – 12) x + 2 = 0
वर्गसमीकरणाच्या मुळांचे स्वरूप ठरवण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा:
x2 + 2x - 9 = 0
उकल:
x2 + 2x - 9 = 0 ची तुलना ax2 + bx + c = 0 शी करून,
a = 1, b = 2, c = `square`
∴ b2 - 4ac = (2)2 - 4 × `square` × `square`
∴ Δ = 4 + `square` = 40
∴ b2 - 4ac > 0
∴ वर्गसमीकरणाची मुळे वास्तव व असमान आहेत.
