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प्रश्न
E और F क्रमश : एक समलंब ABCD की असमांतर AD और BC भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं। सिद्ध कीजिए कि EF || AB और EF = `1/2` (AB + CD) है।
[संकेत : BE को मिलाइए तथा इसे बढ़ाई गई CD से G पर मिलने के लिए बढ़ाइए।]
उत्तर
दिया गया है - ABCD एक समलंब है जिसमें AB || CD। साथ ही, E और F क्रमश : AD और BC भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं।
रचना - BE को मिलाएं और G पर CD से मिलने के लिए बढ़ाएँ, EF को O पर प्रतिच्छेद करने के लिए BD भी खींचें।
सिद्ध करना है - EF || AB और EF = 1/2 (AB + CD)
उपपत्ति - ΔGCB में, E और F क्रमश : BG और BC के मध्य-बिंदु हैं, फिर मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा,
EF || GC
लेकिन GC || AB या CD || AB ...[दिया गया है।]
∴ EF || AB
∆ADB में, AB || EO और E, AD का मध्य-बिंदु है।
इसलिए, मध्य-बिंदु प्रमेय के व्युत्क्रम से, O, BD का मध्य-बिंदु है।
साथ ही, EO = `1/2` AB ...(i)
ΔBDC में, OF || CD और O, BD का मध्य-बिंदु है।
∴ OF = `1/2` CD [मध्य-बिंदु प्रमेय के व्युत्क्रम द्वारा] ...(ii)
समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर, हम पाते हैं।
EO + OF = `1/2` AB + `1/2` CD
⇒ EF = `1/2` (AB + CD)
अतः सिद्ध हुआ।
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