Question

एक किसान दो प्रकार के चारे P और Q को मिलाता (मिश्रण) है। P प्रकार के चारे, जिसका मूल्य Rs 250 प्रति थैला जोकि पोषक तत्व A के 3 मात्रक, तत्व B के 2.5 मात्रक और तत्व C के 2 मात्रक रखता है जबकि Q प्रकार का चारा जिसका मूल्य Rs 200 प्रति थैला है, पोषक तत्व A का 1.5 मात्रक, तत्व B का 11.25 मात्रक और तत्व C के तीन मात्रक रखता है। पोषक तत्वों A, B और C की न्यूनतम आवश्यकताएँ क्रमशः 18 मात्रक, 45 मात्रक और 24 मात्रक हैं। प्रत्येक प्रकार के थैलों की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि मिश्रण के प्रत्येक थैले का मूल्य न्यूनतम हो? मिश्रण के प्रत्येक थैले का न्यूनतम मूल्य क्या है?

Answer 1

किसान को ब्रांड पी के x बैग और ब्रांड के Y बैग्स को मिलाने दें। दी गई जानकारी को निम्नानुसार तालिका में संकलित किया जा सकता है।

	Vitamin A (units/kg)	Vitamin B (units/kg)	Cost (Rs/kg)
Food P	3	5	60
Food Q	4	2	80
Requirement (units/kg)	8	11

दी गई समस्या निम्ननुसार बनाई जा सकती है। कम से कम z = 250x + 200y .............(1)

बाधाओं के अधीन,

3x + 1.5y ≥ 18 ............(2)

2.5x + 11.25y ≥ 45 ............(3)

2x + 3y ≥ 24 ...............(4)

x, y ≥ 0 ..........(5)

बाधाओं की प्रणाली द्वारा निर्धारित व्यवहार्य क्षेत्र प्रकार है |

संभव क्षेत्र के कोने बिंदु A(18, 0), B(9, 2), C(3, 6) और D(0, 12) हैं। इन कोने बिंदुओं पर z का मान इस प्रकार है।

Corner point	z = 250x + 200y
A(18, 0)	4500
B(9, 2)	2650
C(3, 6)	1950	→ Minimum
D(0, 12)	2400

चूंकि संभव क्षेत्र अप्रभावित है, इसलिए 1950 z का न्यूनतम मूल्य हो सकता है या नहीं भी हो सकता है। इसके लिए, हम असमानता का एक ग्राफ खींचते हैं, 250x + 2007 < 1950 या 5x + 4y < 39, और जांचते हैं कि परिणामी आधे विमान में संभव क्षेत्र के साथ अंक हैं या नहीं। यह देखा जा सकता है कि संभव क्षेत्र 5x + 4y < 39 के साथ कोई सामान्य बिंदु नहीं है, इसलिए, z का न्यूनतम मूल्य 2000 (3, 6) है। इस प्रकार, ब्रांड पी के 3 बैग और ब्रांड क्यू के 6 बैग का उपयोग मिश्रण में किया जाना चाहिए ताकि लागत को रु 1950 तक कम किया जा सके।