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प्रश्न
एक तेल कारखाने में दो डिपो A तथा B हैं, जिनकी क्षमताएँ क्रमशः 7000 लिटर और 4000 लिटर की हैं। कारखाने द्वारा तीन पेट्रोल पंपों D, E और F के लिए आपूर्ति करनी है, जिनकी आवश्यकताएँ क्रमशः 4500 लिटर, 3000 लिटर और 3500 लिटर की है। डिपो से पेट्रोल पंपों की दूरियाँ (km में) निम्नांकित सारणी के अनुसार है:
| दूरियाँ (km में) | ||
| को/से | A | B |
| D | 7 | 3 |
| E | 6 | 4 |
| F | 3 | 2 |
यह मानते हुए कि परिवहन व्यय प्रति 10 लिटर पर प्रति किलोमीटर 1 रुपया है, ज्ञात कीजिए कि कैसी आपूर्ति योजना अपनाई जाए, जिससे परिवहन व्यय का न्यूनतमीकरण हो जाए? न्यूनतम व्यय क्या है?
उत्तर
बता दें कि ए और पेट्रोल पंपों से एक्स और वाई लीटर तेल की आपूर्ति की जाती है, डी और ई। तब, (7000 - Xy) ए से पेट्रोल पंप एफ को आपूर्ति की जाएगी। पेट्रोल पंप डी पर आवश्यकता 4500 एल है। चूंकि एक्स एल डिपो ए से परिवहन किया जाता है, शेष (4500-एक्स) एल को पेट्रोल पंप बी से ले जाया जाएगा | इसी तरह, (3000 - वाई) एल और 3500 - (7000 - x - y) = (x + y - 3500) एल क्रमशः डिपो बी से पेट्रोल पंप ई और एफ तक पहुँचाया जाए। दी गई समस्या का चित्रण निम्न प्रकार से किया जा सकता है।
x ≥ 0, y ≥ 0 and (7000 - x - y) ≥ 0
x ≥ 0, y ≥ 0 and x + y ≤ 7000
10 एल पेट्रोल = रे 1 के परिवहन की लागत
4500 - x ≥ 0, 3000 - y ≥ 0 and x + y - 3500 ≥ 0
x ≤ 4500, y ≤ 3000 and x + y ≤ 3500
1 एल पेट्रोल की ढुलाई की लागत = 10 इसलिए, कुल परिवहन लागत द्वारा दी गई है,
Z = 7x/10x + 6y/10 + 3(7000 - x - y)/10 + 3(4500 - x)/10 + 4(3000 - y)/10 + 2(x + y - 3500)/10
= 0.3x + 0.1y + 3950
मस्या निन्मानुसार बनाई जा सकती है | कम से कम z = 0.3x + 0.1y + 3950 .......(1)
बाधाओं के अधीन,
बाधाओं द्वारा निर्धारित संभाव्य क्षेत्र इस प्रकार है |
x + y ≤ 7000 ..........(2)
x ≤ 4500 .......(3)
y ≤ 3000 ........(4)
x + y ≥ 3500 ........(5)
x, y ≥ 0 .......(6)
संभव क्षेत्र के कोने बिंदु A(3500, 0), B(4500, 0), C(4500, 2500), D(4000, 3000) और E(500, 3000) हैं। इन कोने बिंदुओं पर z का मान इस प्रकार है।
| Corner point | z = 0.3x + 0.1y + 3950 | |
| A(3500, 0) | 5000 | |
| B(4500, 0) | 5300 | |
| C(4500, 2500) | 5550 | |
| D(4000, 3000) | 5450 | |
| E(500, 3000) | 4400 | → Minimum |
Z का न्यूनतम मान 4400 पर (500, 3000) है। इस प्रकार, डिपो A से आपूर्ति किया जाने वाला तेल क्रमशः 500 L, 3000 L और 3500 L है और डिपो B से 4000 L, O L, और O L क्रमशः पेट्रोल D, E और F से पंप करता है। न्यूनतम परिवहन लागत 4400 रुपये है।
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| खिलौने के प्रकार | मशीन | ||
| I | II | III | |
| A | 12 | 18 | 6 |
| B | 6 | 0 | 9 |
प्रत्येक मशीन अधिकतम 6 घंटे प्रतिदिन के लिए उपलब्ध है। यदि A प्रकार के खिलौने की बिक्री पर Rs 7.50 लाभ और B प्रकार के खिलौने पर Rs 5 का लाभ हो तो दर्शाइए कि अधिकतम लाभ कमाने के लिए प्रतिदिन A प्रकार के 15 खिलौने और B प्रकार 30 खिलौने निर्मित होने चाहिए।
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| प्रति क्विंटल परिवहन व्यय (रुपयों में) | ||
| को/से | A | B |
| D | 6 | 4 |
| E | 3 | 2 |
| F | 2.50 | 3 |
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