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प्रश्न
एक तेल कारखाने में दो डिपो A तथा B हैं, जिनकी क्षमताएँ क्रमशः 7000 लिटर और 4000 लिटर की हैं। कारखाने द्वारा तीन पेट्रोल पंपों D, E और F के लिए आपूर्ति करनी है, जिनकी आवश्यकताएँ क्रमशः 4500 लिटर, 3000 लिटर और 3500 लिटर की है। डिपो से पेट्रोल पंपों की दूरियाँ (km में) निम्नांकित सारणी के अनुसार है:
| दूरियाँ (km में) | ||
| को/से | A | B |
| D | 7 | 3 |
| E | 6 | 4 |
| F | 3 | 2 |
यह मानते हुए कि परिवहन व्यय प्रति 10 लिटर पर प्रति किलोमीटर 1 रुपया है, ज्ञात कीजिए कि कैसी आपूर्ति योजना अपनाई जाए, जिससे परिवहन व्यय का न्यूनतमीकरण हो जाए? न्यूनतम व्यय क्या है?
उत्तर
बता दें कि ए और पेट्रोल पंपों से एक्स और वाई लीटर तेल की आपूर्ति की जाती है, डी और ई। तब, (7000 - Xy) ए से पेट्रोल पंप एफ को आपूर्ति की जाएगी। पेट्रोल पंप डी पर आवश्यकता 4500 एल है। चूंकि एक्स एल डिपो ए से परिवहन किया जाता है, शेष (4500-एक्स) एल को पेट्रोल पंप बी से ले जाया जाएगा | इसी तरह, (3000 - वाई) एल और 3500 - (7000 - x - y) = (x + y - 3500) एल क्रमशः डिपो बी से पेट्रोल पंप ई और एफ तक पहुँचाया जाए। दी गई समस्या का चित्रण निम्न प्रकार से किया जा सकता है।
x ≥ 0, y ≥ 0 and (7000 - x - y) ≥ 0
x ≥ 0, y ≥ 0 and x + y ≤ 7000
10 एल पेट्रोल = रे 1 के परिवहन की लागत
4500 - x ≥ 0, 3000 - y ≥ 0 and x + y - 3500 ≥ 0
x ≤ 4500, y ≤ 3000 and x + y ≤ 3500
1 एल पेट्रोल की ढुलाई की लागत = 10 इसलिए, कुल परिवहन लागत द्वारा दी गई है,
Z = 7x/10x + 6y/10 + 3(7000 - x - y)/10 + 3(4500 - x)/10 + 4(3000 - y)/10 + 2(x + y - 3500)/10
= 0.3x + 0.1y + 3950
मस्या निन्मानुसार बनाई जा सकती है | कम से कम z = 0.3x + 0.1y + 3950 .......(1)
बाधाओं के अधीन,
बाधाओं द्वारा निर्धारित संभाव्य क्षेत्र इस प्रकार है |
x + y ≤ 7000 ..........(2)
x ≤ 4500 .......(3)
y ≤ 3000 ........(4)
x + y ≥ 3500 ........(5)
x, y ≥ 0 .......(6)
संभव क्षेत्र के कोने बिंदु A(3500, 0), B(4500, 0), C(4500, 2500), D(4000, 3000) और E(500, 3000) हैं। इन कोने बिंदुओं पर z का मान इस प्रकार है।
| Corner point | z = 0.3x + 0.1y + 3950 | |
| A(3500, 0) | 5000 | |
| B(4500, 0) | 5300 | |
| C(4500, 2500) | 5550 | |
| D(4000, 3000) | 5450 | |
| E(500, 3000) | 4400 | → Minimum |
Z का न्यूनतम मान 4400 पर (500, 3000) है। इस प्रकार, डिपो A से आपूर्ति किया जाने वाला तेल क्रमशः 500 L, 3000 L और 3500 L है और डिपो B से 4000 L, O L, और O L क्रमशः पेट्रोल D, E और F से पंप करता है। न्यूनतम परिवहन लागत 4400 रुपये है।
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उपरोक्त प्रश्न 8 पर ध्यान दीजिए | यदि उत्पादक बाग में मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की मात्रा का अधिकतमीकरण चाहता है तो मिश्रण के कितने थैलों को मिलाया जाना चाहिए? मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की अधिकतम मात्रा क्या है?
एक फल उत्पादक अपने बाग में दो प्रकार के खादों P ब्रांड और Q ब्रांड का उपयोग क्र सकता है | मिश्रण के प्रत्येक थैले में नाइट्रोजन, फास्फोरिक अम्ल, पोटाश और क्लोरीन की मात्रा (kg में) सारणी में दिया गया है | परिक्षण संकेत देते है कि बाग को कम से कम 250 kg फास्फोरिक अम्ल, कम से कम 270 kg पोटाश और क्लोरीन की अधिक से अधिक 310 kg की आवश्यकता है |
उदाहरण 9 पर ध्यान कीजिए | आहार में विटामिन A की मात्रा का अधिकतमीकरण करने के लिए प्रत्येक भोज्य के कितने पैकेटों का उपयोग होना चाहिए? आहार में विटामिन A की अधिकतम मात्रा क्या है?
एक किसान दो प्रकार के चारे P और Q को मिलाता (मिश्रण) है। P प्रकार के चारे, जिसका मूल्य Rs 250 प्रति थैला जोकि पोषक तत्व A के 3 मात्रक, तत्व B के 2.5 मात्रक और तत्व C के 2 मात्रक रखता है जबकि Q प्रकार का चारा जिसका मूल्य Rs 200 प्रति थैला है, पोषक तत्व A का 1.5 मात्रक, तत्व B का 11.25 मात्रक और तत्व C के तीन मात्रक रखता है। पोषक तत्वों A, B और C की न्यूनतम आवश्यकताएँ क्रमशः 18 मात्रक, 45 मात्रक और 24 मात्रक हैं। प्रत्येक प्रकार के थैलों की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि मिश्रण के प्रत्येक थैले का मूल्य न्यूनतम हो? मिश्रण के प्रत्येक थैले का न्यूनतम मूल्य क्या है?
एक निर्माता दो प्रकार के खिलौने A और B बनाता है। इस उदेश्य के लिए निर्माण में तीन मशीनों की आवश्यकता पड़ती है और प्रत्येक प्रकार के खिलौने के निर्माण के लिए लगा समय (मिनटों में) निम्नलिखित है।
| खिलौने के प्रकार | मशीन | ||
| I | II | III | |
| A | 12 | 18 | 6 |
| B | 6 | 0 | 9 |
प्रत्येक मशीन अधिकतम 6 घंटे प्रतिदिन के लिए उपलब्ध है। यदि A प्रकार के खिलौने की बिक्री पर Rs 7.50 लाभ और B प्रकार के खिलौने पर Rs 5 का लाभ हो तो दर्शाइए कि अधिकतम लाभ कमाने के लिए प्रतिदिन A प्रकार के 15 खिलौने और B प्रकार 30 खिलौने निर्मित होने चाहिए।
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भंडारों से दुकानों को प्रति क्विंटल परिवहन व्यय निम्न सारणी के अनुसार है:
| प्रति क्विंटल परिवहन व्यय (रुपयों में) | ||
| को/से | A | B |
| D | 6 | 4 |
| E | 3 | 2 |
| F | 2.50 | 3 |
परिवहन व्यय के न्यूनतमीकरण के लिए आपूर्ति का परिवहन कैसे किया जाए? न्यूनतम परिवहन मूल्य क्या है?
एक फल उत्पादक अपने बाग में दो प्रकार के खादों P ब्रांड और Q ब्रांड का उपयोग कर सकता है | मिश्रण के प्रत्येक थैले में नाइट्रोजन, फास्फोरिक अम्ल, पोटाश और क्लोरीन की मात्रा (kg में) सारणी में दिया गया है | परिक्षण संकेत देते है कि बाग को कम से कम 250 kg फास्फोरिक अम्ल, कम से कम 270 kg पोटाश और क्लोरीन की अधिक से अधिक 310 kg की आवश्यकता है |
यदि उत्पादक बाग के लिए मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की मात्रा का न्यूनतमीकरण करना चाहता है तथा, प्रत्येक मिश्रण के कितने थैलों का उपयोग होना चाहिए? मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की निम्नतम मात्रा क्या है?
| kg प्रति थैला | ||
| ब्रांड P | ब्रांड Q | |
| नाइट्रोजन | 3 | 3.5 |
| फास्फोरिक अम्ल | 1 | 2 |
| पोटाश | 3 | 1.5 |
| क्लोरीन | 1.5 | 2 |
