Question

एक समांतर चतुर्भुज की संलग्न भुजाएँ `2hati - 4hatj + 5hatk` और `hati - 2hatj - 3hatk` हैं। इसके विकर्ण के समांतर एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए। इसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।

Answer 1

एक समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ निम्न प्रकार दी गई हैं, `veca = 2hati - 4hatj + 5hatk, vecb = hati - 2hatj - 3hatk`

फिर एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण द्वारा दिया जाता है, `veca + vecb`.

`veca + vecb = (2 + 1)hati + (-4 - 2)hatj + (5 - 3)hatk = 3hati - 6hatj + 2hatk`

इस प्रकार, विकर्ण के समांतर इकाई सदिश है,

`(veca + vecb)/|veca + vecb| = ((3hati - 6hatj + 2hatk))/sqrt(3^2 + (-6)^2 + 2^2)`

= `((3hati - 6hatj + 2hatk))/sqrt(9 + 36 + 4)`

= `3/7hati- 6/7hatj + 2/7hatk`

समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = `|veca xx vecb|`

⇒ `|veca xx vecb| = |(hati, hatj, hatk), (2, -4, 5), (1, -2, -3)|`

`= hati(12 + 10) - hatj(-6 - 5) + hatk(-4 + 4)`

`= 22hati + 11hatj = 11(2hati + hatj)`

`= |veca xx vecb| = 11sqrt(2^2 + 1^2) `

`= 11sqrt5`

इसलिए समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल `11sqrt5` वर्ग इकाई है।