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प्रश्न
ग्राफ़ीय विधि से निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को हल कीजिए:
निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = 3x + 5y का न्यूनतमीकरण कीजिए:
x + 3y ≥ 3, x + y ≥ 2, x, y ≥ 0
उत्तर
बाधाओं की प्रणाली इस प्रकार है:
x + 3y ≥ 3 ....(i)
x + y ≥ 2 ....(ii)
और x, y ≥ 0 ....(iii)
माना l1 : x + 3y = 3
l2 : x + y = 2
चित्र में छायांकित क्षेत्र बाधाओं की प्रणाली (i) से (iii) द्वारा निर्धारित सुसंगत क्षेत्र है। सुसंगत क्षेत्र असीमित है।
हम Z का न्यूनतम मान निर्धारित करने के लिए कोने बिंदु विधि का उपयोग करते हैं,
हमारे पास है,
Z = 3x + 5y
A, E और D के निर्देशांक (3, 0), `(3/2, 1/2)` हैं।
(x + 3y = 3 और x + y = 2 को हल करने पर) और (0, 2) क्रमशः
हम प्रत्येक कोने बिंदु पर Z का मूल्यांकन करते हैं।
| बिंदु | Z का संगत मान |
| (3, 0) | 9 |
| `(3/2, 1/2)` | 7 (न्यूनतम) |
| (0, 2) | 10 |
अब, चूँकि क्षेत्र असीमित है, इसलिए हमें यह जाँचना होगा कि 7 न्यूनतम मान है या नहीं। इसे तय करने के लिए, हम असमानता 3x + 5y < 7 का आलेख बनाते हैं।
अब, आलेख में, हम देखते हैं कि 7 में किसी सुसंगत क्षेत्र के साथ कोई बिंदु उभयनिष्ठ नहीं है।
अतः Z पर न्यूनतम मान 7 है।
अतः, Z न्यूनतम = 7 पर `(3/2, 1/2)`
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