Question

If `sin(sin^-1  1/5 + cos^-1 x) = 1`, the what will be the value of x?

पर्याय

• `1/5`

• `2/5`

• `3/5`

• `pi/6`

Answer 1

`1/5`

Explanation:

Given, `sin(sin^-1  1/5 + cos^-1 x)` = 1

`sin(sin^-1  1/5) cos(cos^-1 x) + cos(sin^-1  1/5) sin(cos^-1 x)` = 1

⇒ `1/5 x + cos (sin^-1  1/5) sin(cos^-1 x)` = 1

⇒ `x/5 + cos(sin^-1  1/5)`  .......(i)

Now let

⇒ `sin^-1  1/5 = y`

⇒ `sin^-1 y 1/5`

⇒ `cos y = sqrt(1 - (1/5)^2) = root(2)(6/5)`

⇒ `y = cos^-1(root(2)(6)/5)`

∴ `sin^-1  1/5 = cos^-1 (root(2)(6)/5) - 2`

Let us `cos^-1 = Zcos z = x`

⇒ `sin = zsqrt(1 - x^2)`

⇒ `sin^-1 (sqrt(1 - x^2))` = 1

From (1), (2), and (3) we have,

`x/5 + cos(cos^-1  root(2)(6)/5) sin(sin^-1 sqrt(1 - x^2))` = 1

⇒ `x/5 +  root(2)(6)/5 sqrt(1 - x^2)` = 1

⇒ `x + 2sqrt(6) sqrt(1 - x^2)` = 1

⇒ `x + root(2)(6) sqrt(1 - x^2)` = 5

On squaring both side , we get

`(4) (6) (1 - x^2) = 25 + x^2 - 10 x`

⇒ `24 + 24x^2 - 25 + x^2 - 10x`

⇒ `25x^2 - 10x + 1` = 0

⇒ `(5x - 1)^2` = 0

⇒ `(5x - 1)` = 0

⇒ `x = 1/5`.