Question

किसी AP के 26 वें, 11 वें और अंतिम पद क्रमश : 0, 3 और ${\displaystyle -\frac{1}{5}}$ हैं। इसका सार्व अंतर और पदों की संख्या ज्ञात कीजिए।

Answer 1

मान लीजिए कि एक AP का पहला पद, सार्व अंतर और पदों की संख्या क्रमशः a, d और n हैं।

हम जानते हैं कि, यदि किसी AP का अंतिम पद ज्ञात हो, तो

l = a + (n – 1)d   ...(i)

और AP का n वाँ पद है।

T_n = a + (n – 1)d   ...(ii)

दिया गया है,

AP का 26 वाँ पद = 0

⇒ T₂₆ = a + (26 – 1)d = 0    ...[समीकरण (i) से]

⇒ a + 25d = 0   ...(iii)

AP का 11 वाँ पद = 3

⇒ T₁₁ = a + (11 – 1)d = 3   ....[समीकरण (ii) से]

⇒ a + 10d = 3   ...(iv)

और AP का अंतिम पद = ${\displaystyle -\frac{1}{5}}$

⇒ l = a + (n – 1)d   ...[समीकरण (i) से]

⇒ ${\displaystyle -\frac{1}{5}}$ = a + (n – 1)d   ...(v)

अब, समीकरण (iv) को समीकरण (iii) से घटाने पर,

a + 25d = 0
a + 10d = 3
–  –         – 
15d = – 3

⇒ d = ${\displaystyle -\frac{1}{5}}$

समीकरण (iii) में d का मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है।

${\displaystyle a+25(-\frac{1}{5})}$ = 0

⇒ a – 5 = 0

⇒ a = 5

अब, a, d का मान समीकरण (v) में रखें, हमें मिलता है।

${\displaystyle -\frac{1}{5}=5+(n-1)(-\frac{1}{5})}$

⇒ – 1 = 25 – (n – 1)

⇒ – 1 = 25 – n + 1

⇒ n = 25 + 2 = 27

अत:, सामान्य अंतर और शर्तों की संख्या क्रमशः ${\displaystyle -\frac{1}{5}}$ और 27 है।