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प्रश्न
किसी परीक्षा के एक प्रश्न पत्र में प्रश्न है जो क्रमशः 5 तथा 7 प्रश्नों वाले दो खण्डों में विभक्त हैं अर्थात खंड I और खण्ड II. एक विद्यार्थी का प्रत्येक खंड से न्यूनतम उप्रश्नों का चयन करते हुए कुल 8 प्रश्नों को हल करना है। एक विद्यार्थी कितने प्रकार से प्रश्नों का चयन कर सकता है?
उत्तर
यह दिया गया है कि प्रश्न पत्र में 12 प्रश्न होते हैं जो दो खण्डों में विभक्त होते हैं - भाग I और भाग II, जिसमें क्रमशः 5 और 7 प्रश्न होते हैं।
एक छात्र को प्रत्येक भाग से कम से कम 3 का चयन करते हुए 8 प्रश्नों का उत्तर देना है।
इसे इस प्रकार किया जा सकता है।
- भाग I से 3 प्रश्न और भाग II से 5 प्रश्न
- भाग I से 4 प्रश्न और भाग II से 4 प्रश्न
- भाग I से 5 प्रश्न और भाग II से 3 प्रश्न
भाग I से 3 प्रश्न और भाग II से 5 प्रश्न `""^5C_3 xx ""^7C_5` तरीकों से चुने जा सकते हैं।
भाग I से 4 प्रश्न और भाग II से 4 प्रश्न `""^5C_4 xx ""^7C_4` तरीकों से चुने जा सकते हैं।
भाग I से 5 प्रश्न और भाग II से 3 प्रश्न `""^5C_5 xx ""^7C_3` तरीकों से चुने जा सकते हैं।
इस प्रकार, प्रश्नों के चयन के लिए कई तरीकों की आवश्यकता होती है।
= 5C3 x 7C5 + 5C4 x 7C4 + 5C5 x 7C3
= `(5!)/(2!3!) xx (7!)/(2!5!) xx (5!)/(4!1!) xx (7!)/(4!3!) xx (5!)/(5!0!) xx (7!)/(3!4!)`
= `(5 xx 4)/(2) xx (7 xx 6)/(2) + 5 xx (7 xx 6 xx 5)/(3 xx 2) + 1 xx (7xx 6 xx 5)/(3 xx 2)`
= 210 + 175 + 35
= 420
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