Question

निम्नलिखित प्रश्न में ज्ञात कीजिए कि क्या दिए गए समतलों के युग्म समांतर है अथवा लंबवत् हैं, और उस स्थिति में, जब ये न तो समांतर है और न ही लंबवत् तो उनके बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

4x + 8y + z – 8 = 0 और  y + z – 4 = 0

Answer 1

दिए गए समतल a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0 हैं।

(i) समतल समांतर होंगे यदि `"a"_1/"a"_2 = "b"_1/"b"_2 = "c"_1/"c"_2`

(ii) समतल लंबवत् होंगे यदि `"a"_1"a"_2 + "b"_1"b"_2 + "c"_1"c"_2 = 0`

दिए गए समतल,

4x + 8y + z – 8 = 0 ......(i)

तथा  y + z – 4 = 0 .....(ii)

(i) ये समतल समांतर नहीं हैं, क्योंकि

`4/0 ≠ 8/1 ≠ 1/1`

(ii) `"a"_1"a"_2 + "b"_1"b"_2 + "c"_1"c"_2`

= 4 × 0 + 8 × 1 + 1 × 1

= 0 + 8 + 1 

= 9 ≠ 0

ये समतल लंबवत् नहीं हैं।

यदि दोनों समतलों के बीच यदि कोण θ हो तो

cos θ = `("a"_1"a"_2 + "b"_1"b"_2 + "c"_1"c"_2)/(sqrt("a"_1^2 + "a"_2^2 + "a"_3^2). sqrt("b"_1^2 + "b"_2^2 + "b"_3^2))` 

= `(4. 0 + 8.1 + 1.1)/(sqrt(4^2 + 8^2 + 1^2)sqrt(0 + 1^2 + 1^2))`

= `(8 + 1)/(sqrt (16 + 64+ 1) sqrt(1 + 1))`

= `9/(sqrt18 sqrt2)`

= `9/(9sqrt2)`

= `1/sqrt2`

⇒ θ = `π/4` = 45°

अतः दोनों समतलों के बीच का कोण 45° हैं।