Question

निम्नलिखित प्रश्न में ज्ञात कीजिए कि क्या दिए गए समतलों के युग्म समांतर है अथवा लंबवत् हैं, और उस स्थिति में, जब ये न तो समांतर है और न ही लंबवत् तो उनके बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

4x + 8y + z – 8 = 0 और  y + z – 4 = 0

Answer 1

दिए गए समतल a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0 हैं।

(i) समतल समांतर होंगे यदि ${\displaystyle \frac{{\text{a}}_1}{{\text{a}}_2}=\frac{{\text{b}}_1}{{\text{b}}_2}=\frac{{\text{c}}_1}{{\text{c}}_2}}$

(ii) समतल लंबवत् होंगे यदि ${\displaystyle {\text{a}}_1{\text{a}}_2+{\text{b}}_1{\text{b}}_2+{\text{c}}_1{\text{c}}_2=0}$

दिए गए समतल,

4x + 8y + z – 8 = 0 ......(i)

तथा  y + z – 4 = 0 .....(ii)

(i) ये समतल समांतर नहीं हैं, क्योंकि

${\displaystyle \frac{4}{0}\ne \frac{8}{1}\ne \frac{1}{1}}$

(ii) ${\displaystyle {\text{a}}_1{\text{a}}_2+{\text{b}}_1{\text{b}}_2+{\text{c}}_1{\text{c}}_2}$

= 4 × 0 + 8 × 1 + 1 × 1

= 0 + 8 + 1 

= 9 ≠ 0

ये समतल लंबवत् नहीं हैं।

यदि दोनों समतलों के बीच यदि कोण θ हो तो

cos θ = ${\displaystyle \frac{{\text{a}}_1{\text{a}}_2+{\text{b}}_1{\text{b}}_2+{\text{c}}_1{\text{c}}_2}{\sqrt{{\text{a}}_1^2+{\text{a}}_2^2+{\text{a}}_3^2}.\sqrt{{\text{b}}_1^2+{\text{b}}_2^2+{\text{b}}_3^2}}}$ 

= ${\displaystyle \frac{4.0+8.1+1.1}{\sqrt{4^2+8^2+1^2}\sqrt{0+1^2+1^2}}}$

= ${\displaystyle \frac{8+1}{\sqrt{16+64+1}\sqrt{1+1}}}$

= ${\displaystyle \frac{9}{\sqrt{18}\sqrt{2}}}$

= ${\displaystyle \frac{9}{9\sqrt{2}}}$

= ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$

⇒ θ = ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ = 45°

अतः दोनों समतलों के बीच का कोण 45° हैं।