Advertisements
Advertisements
Question
निम्नलिखित प्रश्न में ज्ञात कीजिए कि क्या दिए गए समतलों के युग्म समांतर है अथवा लंबवत् हैं, और उस स्थिति में, जब ये न तो समांतर है और न ही लंबवत् तो उनके बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
7x + 5y + 6z + 30 = 0 और 3x − y − 10z + 4 = 0
Solution
दिए गए समतल a1x + b1y + c1z + d1 = 0 और a2x + b2y + c2z + d2 = 0 हैं।
(i) समतल समांतर होंगे यदि `"a"_1/"a"_2 = "b"_1/"b"_2 = "c"_1/"c"_2`
(ii) समतल लंबवत् होंगे यदि `"a"_1"a"_2 + "b"_1"b"_2 + "c"_1"c"_2 = 0`
दिए गए समतल
7x + 5y + 6z + 30 = 0 .....(i)
तथा 3x − y − 10z + 4 = 0 ....(ii)
(i) ये समतल समांतर नहीं हैं, क्योंकि `7/3 ≠ 5/-1 ≠ 6/-10`
(ii) `"a"_1"a"_2 + "b"_1"b"_2 + "c"_1"c"_2`
= `7 xx 3 + 5 xx (-1) + 6 xx (-10)`
= 21 − 5 − 60
= 21 − 65
= −44 ≠ 0
ये समतल लंबवत् नहीं हैं।
यदि दोनों समतलों के बीच यदि कोण θ हो तो
cos θ = `("a"_1"a"_2 + "b"_1"b"_2 + "c"_1"c"_2)/(sqrt("a"_1^2 + "a"_2^2 + "a"_3^2). sqrt("b"_1^2 + "b"_2^2 + "b"_3^2))`
= `(7. 3 + 5(-1) + 6 (-10))/(sqrt(7^2 + 5^2 + 6^2) sqrt(3^2 + (-1)^2 + (-10)^2))`
= `(21 - 5 - 60)/(sqrt(49 + 25 + 36)sqrt(9 + 1 + 100))`
= `(-44)/(sqrt110sqrt110)`
= `(-44)/110`
= `(-4)/10`
= `(-2)/5`
θ = `cos^-1 ((-2)/5)`
अतः दिए गए समतलों के बीच का कोण `cos^-1 ((-2)/5)` है।
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
निम्नलिखित रेखा-युग्म के बीच का कोण ज्ञात कीजिए:
`vecr = 2hati - 5hatj + hatk + λ(3hati + 2hatj + 6hatk)` और `vecr = 7hati - 6hatk + µ (hati + 2hatj + 2hatk)`
निम्नलिखित रेखा-युग्म के बीच का कोण ज्ञात कीजिए:
`vecr = 3hati + hatj - 2hatk + λ(hati - hatj - 2hatk)` और `vecr = 2hati - hatj - 56hatk + µ (3hati - 5hatj - 4hatk)`
समतलों, जिनके सदिश समीकरण `vec"r". (2hat"i" + 2hat"j" - 3hat"k") = 5` और `vec"r".(3 hat"i" - 3hat"j" + 5hat"k") = 3` हैं, के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
निम्नलिखित प्रश्न में ज्ञात कीजिए कि क्या दिए गए समतलों के युग्म समांतर है अथवा लंबवत् हैं, और उस स्थिति में, जब ये न तो समांतर है और न ही लंबवत् तो उनके बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
2x + y + 3z – 2 = 0 और x – 2y + 5 = 0
निम्नलिखित प्रश्न में ज्ञात कीजिए कि क्या दिए गए समतलों के युग्म समांतर है अथवा लंबवत् हैं, और उस स्थिति में, जब ये न तो समांतर है और न ही लंबवत् तो उनके बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
2x – 2y + 4z + 5 = 0 और 3x – 3y + 6z – 1 = 0
निम्नलिखित प्रश्न में ज्ञात कीजिए कि क्या दिए गए समतलों के युग्म समांतर है अथवा लंबवत् हैं, और उस स्थिति में, जब ये न तो समांतर है और न ही लंबवत् तो उनके बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
2x − y + 3z − 1 = 0 और 2x − y + 3z + 3 = 0
निम्नलिखित प्रश्न में ज्ञात कीजिए कि क्या दिए गए समतलों के युग्म समांतर है अथवा लंबवत् हैं, और उस स्थिति में, जब ये न तो समांतर है और न ही लंबवत् तो उनके बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
4x + 8y + z – 8 = 0 और y + z – 4 = 0
