Question

मान लीजिए कि A= R - {3} तथा B = R - {1} हैं। f(x) = ${\displaystyle \left(\frac{x-2}{x-3}\right)}$ द्वारा परिभाषित फलन f : A → B पर विचार कीजिए। क्या f एकैकी तथा आच्छादक है? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।

Answer 1

A = R  - {3}, B = R - {1}  और  f(x) = ${\displaystyle \left(\frac{x-2}{x-3}\right)}$ द्वारा परिभाषित फलन f : A → B

माना है कि, x, y ∈ A

f(x) = f(y)

${\displaystyle \frac{x-2}{x-3}=\frac{y-2}{y-3}}$

(x - 2) (y - 3) = (y - 2) (x - 3)

xy - 3x - 2y + 6 = xy - 2x - 3y + 6

-3x -2y = -2x -3y

x = y

⇒ f एकैकी फलन है।

माना y ∈ B = R - {1}

फलन f आच्छादक होगा यदि  x ∈ A के लिए, f(x) = y

इसलिए f(x) = y

${\displaystyle \frac{x-2}{x-3}=y}$

x - 2 = xy - 3y

x(1 - y) = -3y + 2

x = ${\displaystyle \frac{2-3y}{1-y}}$ ∈ A

y ∈ B, ${\displaystyle \frac{2-3y}{1-y}}$ ∈ A का अस्तित्व इस प्रकार है कि,

f = ${\displaystyle \left(\frac{2-3y}{1-y}\right)=\frac{\left(\frac{2-3y}{1-y}\right)-2}{\left(\frac{2-3y}{1-y}\right)-3}}$

${\displaystyle =\frac{2-3y-2+2y}{2-3y-3+3y}}$

${\displaystyle =\frac{-y}{-1}}$ = y

⇒ f आच्छादक है।

अंत: फलन f एकैकी और आच्छादक भी है।